Función de distribución (física estadística)

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La función de distribución estadística (función de distribución en física estadística) es la densidad de probabilidad en el espacio de fase . Uno de los conceptos fundamentales de la física estadística . El conocimiento de la función de distribución determina completamente las propiedades probabilísticas del sistema bajo consideración.

El estado mecánico de cualquier sistema está determinado únicamente por las coordenadas y momentos de sus partículas ( i=1,2,…, d ; d es el número de grados de libertad del sistema). El conjunto de magnitudes y forman el espacio fase . ${\ Displaystyle q_ {i}}$ ${\ Displaystyle p_ {i}}$ ${\displaystyle q\equiv \left\{q_{i}\right\))$ $p\equiv\left\{p_{i}\right\}$

Función de distribución estadística completa

La probabilidad de encontrar un sistema en un elemento del espacio fase , con un punto (q, p) en su interior, viene dada por la fórmula: ${\displaystyle \mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i))$

\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)

La función se denomina función de distribución estadística completa (o simplemente función de distribución). De hecho, representa la densidad de representación de puntos en el espacio de fase. La función satisface la condición de normalización : ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (t, q, p \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (t, q, p \ derecha)}$

\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)

y la integral se toma en todo el espacio de fase. En el caso correspondiente a la mecánica , el sistema se encuentra en cierto estado microscópico, es decir, ha dado y , y entonces ${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$ ${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$

\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\,\delta \!\left(pp^{(0)} \Correcto),

donde (δ es la función de Dirac ). Además de las probabilidades de varios estados microscópicos, la función le permite encontrar el valor estadístico promedio de cualquier cantidad física , una función de las variables de fase q y p : $\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\delta \!\left(pp^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \ !\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\right)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\right )$ ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (t, q, p \ derecha)}$ $F\!\left(t,q,p\right)$

\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int ({\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\ matemática {d}p},

donde el “límite” significa la dependencia de las variables de fase, y el paréntesis es el promedio estadístico.

Dividamos el sistema en subsistemas pequeños, pero macroscópicos. Se puede argumentar que tales subsistemas son estadísticamente independientes debido a su débil interacción con el medio ambiente (solo las partículas cercanas al límite del subsistema participan en la interacción con el medio ambiente; en el caso de un subsistema macroscópico, su número es pequeño en comparación con el número total de sus partículas). La independencia estadística de los subsistemas conduce al siguiente resultado para la función de distribución

\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n) },p^{(n)}\right)\qquad(3)

El índice n se refiere al n-ésimo subsistema. Cada una de las funciones puede considerarse normalizada de acuerdo con la condición (2). En este caso, la función también se normalizará automáticamente . El concepto de independencia estadística es aproximado. La igualdad (3), a su vez, también es aproximada: no tiene en cuenta las correlaciones de partículas pertenecientes a diferentes subsistemas. Es significativo, sin embargo, que bajo condiciones físicas ordinarias, las correlaciones se debilitan rápidamente a medida que las partículas (o grupos de partículas) se alejan unas de otras. El sistema tiene un parámetro característico, el radio de correlación , fuera del cual las partículas se comportan estadísticamente de forma independiente. En los subsistemas de dimensiones macroscópicas, la gran mayoría de las partículas de un subsistema se encuentran fuera del radio de correlación de las partículas de otro, y con respecto a estas partículas, la igualdad (3) es válida. $\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$ $\rho$

Matemáticamente, establecer la función de distribución total equivale a establecer un número infinito de cantidades independientes: sus valores en un continuo de puntos en el espacio de fase de dimensión colosal 2d (para sistemas macroscópicos d ~ , donde está el número de Avogadro ). ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (t, q, p \ derecha)}$ $N / A$ $N / A$

Descripción incompleta

En un caso más realista de medición incompleta, se conocen las probabilidades de los valores o incluso los valores medios de solo algunas cantidades físicas . Su número suele ser mucho menor que la dimensión del espacio de fase del sistema. La función de distribución de probabilidad de valores viene dada por la igualdad ${\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}$ ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (A \ derecha)}$ $A$

\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A)) \right)\rho \!\left(q,p\right)},

donde _ La función de distribución se puede llamar incompleta. Obviamente, permite encontrar las probabilidades de los valores de cantidades físicas únicas , cuya dependencia de las variables de fase se realiza a través de . Para los mismos valores, le permite encontrar los valores medios: $\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A} }_{m}\derecho)$ ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (A \ derecha)}$ ${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$ ${\ sombrero {A}}$

\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A \Correcto)},

donde y la integración se realiza sobre todos los valores posibles de . Por supuesto, los valores medios de las cantidades se podrían encontrar utilizando la función de distribución total , si se conociera. Para la función , así como para la función de distribución completa, la condición de normalización es verdadera: ${\displaystyle \mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m))$ $A$ $\left\langle {\hat {f}}\right\rangle$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {f))}$ ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (t, q, p \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (A \ derecha)}$

\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1

La descripción de un sistema usando una función se llama descripción incompleta. Ejemplos específicos son la descripción usando la función de distribución de las coordenadas y momentos de partículas individuales del sistema o la descripción usando los valores promedio de las masas , momentos y energías de subsistemas individuales de todo el sistema. ${\ estilo de visualización \ rho \! \ izquierda (A \ derecha)}$

Evolución temporal de la función de distribución

La evolución temporal de la función de distribución obedece a la ecuación de Liouville :

{\frac {\parcial {\hat {\rho ))\!\left(t\right)}{\parcial t))+i\,L_{t}\,{\hat {\rho } }\!\izquierda(t\derecha)=0,\qquad(4)

donde está actuando el operador de Liouville en el espacio de funciones de fase: ${\ Displaystyle L_ {t}}$

L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\({\hat {H))_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\ izquierda({\frac {\parcial {\hat {H}}_{t}}{\parcial p_{j}}}{\frac {\parcial }{\parcial q_{j}}}-{\frac { \parcial {\hat {H}}_{t}}{\parcial q_{j}}}{\frac {\parcial }{\parcial p_{j}}}\right)

${\sombrero {H}}_{t}$ es la función de Hamilton del sistema. En el caso de que el operador de Liouville no dependa del tiempo ( ), la solución a la ecuación (4) tiene la forma $L_{t}=L$

{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)

Para utilizar (5) para construir realmente una solución, es necesario conocer las funciones propias y los valores propios del operador . ${\displaystyle {\sombrero {\psi}}^{(n)))$ ${\ estilo de visualización L^{(n)}}$ $L$

Usando completitud y ortonormalidad , escribimos: ${\displaystyle {\sombrero {\psi}}^{(n)))$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)))

donde ( se supone que el espectro es discreto). Como resultado, obtenemos $c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\right)$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)))c_{n }\,{\sombrero {\psi}}^{(n)))

Véase también

Función de distribución parcial

Literatura

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diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)