Sistema coordinado

Un sistema de coordenadas es un conjunto de definiciones que implementa el método de coordenadas , es decir, una forma de determinar la posición y el movimiento de un punto o cuerpo utilizando números u otros símbolos. El conjunto de números que determinan la posición de un punto en particular se llama las coordenadas de este punto.

En matemáticas , las coordenadas son un conjunto de números asociados con puntos de una variedad en algún mapa de un atlas particular .

En geometría elemental , las coordenadas son cantidades que determinan la posición de un punto en un plano y en el espacio. En un plano, la posición de un punto suele estar determinada por las distancias de dos líneas rectas (ejes de coordenadas) que se cruzan en un punto (el origen) en ángulo recto; una de las coordenadas se llama ordenada y la otra abscisa . En el espacio, según el sistema de Descartes , la posición de un punto está determinada por las distancias desde tres planos de coordenadas que se cruzan en un punto en ángulo recto entre sí, o por coordenadas esféricas , donde el origen de coordenadas está en el centro del esfera.

En geografía , las coordenadas se eligen como un sistema de coordenadas esféricas ( aproximadamente ) : latitud , longitud y altura sobre un nivel común conocido (como el océano). Ver coordenadas geográficas .

En astronomía , las coordenadas celestes son un par ordenado de cantidades angulares (por ejemplo, ascensión recta y declinación ), que determinan la posición de las luminarias y puntos auxiliares en la esfera celeste. En astronomía se utilizan varios sistemas de coordenadas celestes. Cada uno de ellos es esencialmente un sistema de coordenadas esféricas (sin coordenadas radiales) con un plano fundamental y un origen elegidos apropiadamente. Dependiendo de la elección del plano fundamental, el sistema de coordenadas celestes se denomina horizontal (plano horizonte), ecuatorial (plano ecuatorial), eclíptica (plano eclíptico) o galáctica (plano galáctico).

El sistema de coordenadas más utilizado es el sistema de coordenadas rectangulares (también conocido como sistema de coordenadas cartesianas ).

Las coordenadas en el plano y en el espacio se pueden ingresar de infinitas formas diferentes. A la hora de resolver un determinado problema matemático o físico por el método de las coordenadas, se pueden utilizar diferentes sistemas de coordenadas, eligiendo aquel en el que se resuelva el problema de forma más sencilla o conveniente en este caso concreto. Una generalización bien conocida del sistema de coordenadas son los marcos de referencia y los sistemas de referencia .

Sistemas básicos

Esta sección proporciona explicaciones para los sistemas de coordenadas más utilizados en matemáticas elementales.

Coordenadas cartesianas

La ubicación del punto P en el plano está determinada por coordenadas cartesianas usando un par de números $(x,y):$

$X$ es la distancia del punto P al eje y , teniendo en cuenta el signo
$y$ es la distancia del punto P al eje x , teniendo en cuenta el signo

Se necesitan tres coordenadas en el espacio. $(x, y, z):$

$X$ es la distancia del punto P al plano yz
$y$ es la distancia del punto P al plano xz
$z$ es la distancia del punto P al plano xy

Coordenadas polares

En el sistema de coordenadas polares aplicado sobre el plano, la posición del punto P está determinada por su distancia al origen r = |OP| y el ángulo φ de su radio vector al eje Ox .

En el espacio, se utilizan generalizaciones de coordenadas polares: sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas .

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son un análogo tridimensional de las coordenadas polares, en las que el punto P está representado por un triple ordenado En términos de un sistema de coordenadas cartesianas, $(r,\varphi,z).$

$0\leqslant {r}$ ( radio ) es la distancia desde el eje z hasta el punto P ,
$0\leqslant\varphi <360^{\circ}$ ( azimut o longitud) - el ángulo entre la parte positiva ("más") del eje x y el segmento trazado desde el polo hasta el punto P y proyectado sobre el plano xy .
$z$ (altura) es igual a la coordenada z cartesiana del punto P .

Nota: en la literatura, para la primera coordenada (radial), a veces se usa la designación ρ , para la segunda (angular o azimutal), la designación θ , para la tercera coordenada, la designación h .

Las coordenadas polares tienen un inconveniente: el valor de φ no está definido en r = 0 .

Las coordenadas cilíndricas son útiles para estudiar sistemas que son simétricos respecto a algún eje. Por ejemplo, un cilindro largo con radio R en coordenadas cartesianas (con el eje z coincidiendo con el eje del cilindro) tiene una ecuación mientras que en coordenadas cilíndricas parece mucho más simple como r = R. $x^{2}+y^{2}=R^{2},$

Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas son un análogo tridimensional de las polares.

En un sistema de coordenadas esféricas, la ubicación de un punto P está definida por tres componentes: En términos de un sistema de coordenadas cartesianas, $(\rho,\varphi,\theta).$

$0\leqslant\rho$ (radio) es la distancia desde el punto P al polo,
$0\leqslant\varphi\leqslant 360^{\circ}$ (acimut o longitud) - el ángulo entre el semieje x positivo ("más") y la proyección del segmento trazado desde el polo hasta el punto P en el plano xy .
$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (latitud o ángulo polar) - el ángulo entre el semieje positivo ("más") z y el segmento trazado desde el polo hasta el punto P.

Nota: En la literatura, a veces el acimut se denota por θ y el ángulo polar por φ . A veces se usa r en lugar de ρ para la coordenada radial . Además, el rango de ángulos para el acimut se puede seleccionar como (−180°, +180°] en lugar del rango [0°, +360°]. Finalmente, el ángulo polar puede medirse no desde la dirección positiva del eje z , sino desde el plano xy ; en este caso, se encuentra en el rango [−90°, +90°] y no en el rango [0°, 180°]. A veces se elige un orden de coordenadas en la terna diferente al descrito; por ejemplo, se pueden intercambiar los ángulos polar y acimutal.

El sistema de coordenadas esféricas también tiene un inconveniente: φ y θ no están definidos si ρ = 0; el ángulo φ tampoco está definido para los valores límite θ = 0 y θ = 180° (o para θ = ±90°, si se acepta el rango adecuado para este ángulo).

Para construir un punto P según sus coordenadas esféricas, es necesario apartar un segmento igual a ρ del polo a lo largo del semieje positivo z , rotarlo un ángulo θ alrededor del eje y en la dirección del eje positivo semieje x , y luego gírelo un ángulo θ alrededor del eje z en la dirección del semieje positivo y .

Las coordenadas esféricas son útiles para estudiar sistemas que son simétricos con respecto a un punto. Entonces, la ecuación de una esfera con radio R en coordenadas cartesianas con el origen en el centro de la esfera se parece mientras que en coordenadas esféricas se vuelve mucho más simple: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$ $\rho=R.$

Otros sistemas de coordenadas comunes

El sistema de coordenadas afines (oblicuo) es un sistema de coordenadas rectilíneas en un espacio afín . En el plano viene dado por el punto de origen O y dos vectores no colineales ordenados , que representan una base afín . En este caso, los ejes de coordenadas son líneas rectas que pasan por el punto de origen paralelas a los vectores base, que a su vez marcan la dirección positiva de los ejes. En el espacio tridimensional , respectivamente, un sistema de coordenadas afines viene dado por un triple de vectores linealmente independientes y un punto de origen. Para determinar las coordenadas de algún punto M se calculan los coeficientes de expansión del vector OM en función de los vectores base [1] .

Las coordenadas baricéntricas fueron introducidas por primera vez en 1827 por A. Möbius , quien estaba resolviendo la cuestión del centro de gravedad de las masas ubicadas en los vértices de un triángulo . Son invariantes afines, son un caso especial de coordenadas homogéneas generales . Un punto con coordenadas baricéntricas se ubica en el espacio vectorial n - dimensional E n , mientras que las coordenadas propiamente dichas se refieren a un sistema fijo de puntos que no se encuentran en elsubespacio ( n − 1) dimensional. Las coordenadas baricéntricas también se utilizan en topología algebraica en relación con los puntos del símplex [2] .

Las coordenadas bangulares son un caso especial de coordenadas bicéntricas, un sistema de coordenadas en un plano, dado por dos puntos fijos C 1 y C 2 , por los que se traza una recta que actúa como eje de abscisas. La posición de algún punto P que no está sobre esta línea está determinada por los ángulos PC 1 C 2 y PC 2 C 1 .

Las coordenadas bipolares [3] se caracterizan porque en este caso dos familias de círculos con polos A y B , así como una familia de círculos ortogonales a ellos, actúan como líneas de coordenadas en el plano. La transformación de coordenadas bipolares en rectangulares cartesianas se realiza mediante fórmulas especiales. Las coordenadas bipolares en el espacio se denominan biesféricas; en este caso, las superficies de coordenadas son esferas , superficies formadas por la rotación de arcos circulares, así como semiplanos que pasan por el eje O z [4] .

Coordenadas bicéntricas : cualquier sistema de coordenadas que se basa en dos puntos fijos y dentro del cual la posición de algún otro punto está determinada, por regla general, por el grado de su eliminación o, en general, por la posición relativa a estos dos puntos principales. Los sistemas de este tipo pueden ser bastante útiles en ciertas áreas de la investigación científica [5] [6] .

Coordenadas bicilíndricas : un sistema de coordenadas que se forma si el sistema de coordenadas bipolar en el plano O xy se transfiere en paralelo a lo largo del eje O z . Las superficies de coordenadas en este caso son una familia de pares de cilindros circulares cuyos ejes son paralelos, una familia de cilindros circulares ortogonales a ellos y un plano. También se utilizan fórmulas especiales para convertir coordenadas bicilíndricas a rectangulares cartesianas para el espacio tridimensional [7] .

Las coordenadas dipolares son un sistema de coordenadas ortogonales curvilíneas tridimensionales basado en un dipolo puntual (central), más precisamente, en sus invariantes de transformación de coordenadas. Una de las invariantes es la superficie equipotencial , que sirve como superficie de coordenadas; otra invariante son las líneas de fuerza del campo vectorial , que son perpendiculares a las superficies equipotenciales. La transformación de coordenadas esféricas o cartesianas en dipolares se realiza mediante fórmulas especiales.

Las coordenadas cónicas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que consta de esferas concéntricas, que se describen por su radio , y dos familias de conos perpendiculares , ubicados a lo largo de los ejes x y z [8] .

Las coordenadas de Rindler se utilizan principalmente en el marco de la teoría de la relatividad y describen esa parte del espacio-tiempo plano, que comúnmente se denomina espacio de Minkowski . En la teoría especial de la relatividad, una partícula que acelera uniformemente está en movimiento hiperbólico , y para cada partícula en coordenadas de Rindler, se puede elegir un punto de referencia con respecto al cual está en reposo.

Las coordenadas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son una colección de parábolas confocales . Se construye una modificación tridimensional de coordenadas parabólicas girando un sistema bidimensional alrededor del eje de simetría de estas parábolas. Las coordenadas parabólicas también tienen una gama de posibles aplicaciones prácticas: en particular, pueden usarse en relación con el efecto Stark . Las coordenadas parabólicas están conectadas por una cierta relación con las cartesianas rectangulares [9] .

Las coordenadas proyectivas existen, según su nombre, en el espacio proyectivo P n ( K ) y representan una correspondencia biunívoca entre sus elementos y clases de subconjuntos finitos de elementos del cuerpo K , caracterizados por las propiedades de equivalencia y ordenamiento . Para determinar las coordenadas proyectivas de los subespacios proyectivos, basta con determinar las coordenadas correspondientes de los puntos en el espacio proyectivo. En el caso general, con respecto a alguna base, las coordenadas proyectivas se introducen por medios puramente proyectivos [10] .

Un sistema de coordenadas toroidales es un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales obtenido al rotar un sistema de coordenadas bipolar bidimensional alrededor de un eje que separa sus dos focos. Los focos del sistema bipolar, respectivamente, se convierten en un anillo con radio a que se encuentra en el plano xy del sistema de coordenadas toroidal, mientras que el eje z se convierte en el eje de rotación del sistema. El anillo focal también se denomina a veces círculo base [11] .

Las coordenadas trilineales son uno de los ejemplos de coordenadas homogéneas y se basan en un triángulo dado, por lo que la posición de un punto se determina en relación con los lados de este triángulo, principalmente por el grado de distancia de ellos, aunque son posibles otras variaciones. Las coordenadas trilineales se pueden convertir con relativa facilidad en baricéntricas; además, también son convertibles a coordenadas rectangulares bidimensionales, para lo cual se utilizan las fórmulas correspondientes [12] .

Las coordenadas parabólicas cilíndricas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales obtenido como resultado de una transformación espacial de un sistema de coordenadas parabólicas bidimensional. Las superficies de coordenadas, respectivamente, son cilindros parabólicos confocales. Las coordenadas parabólicas cilíndricas están conectadas por una cierta relación con las rectangulares y se pueden aplicar en una serie de áreas de investigación científica [13] .

Las coordenadas elipsoidales son coordenadas elípticas en el espacio. En este caso, las superficies de coordenadas son elipsoides , hiperboloides de una hoja , así como hiperboloides de dos hojas, cuyos centros se encuentran en el origen. El sistema es ortogonal. Cada triple de números, que son coordenadas elipsoidales, corresponde a ocho puntos que sonsimétricos entre sí con respecto a los planos del sistema O xyz [14] .

Transición de un sistema de coordenadas a otro

Cartesiano y polar

x=r\,\cos \varphi,

y=r\,\sin\varphi,

r={\raíz cuadrada {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\nombre del operador {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\nombre del operador {sgn}y,

donde u 0 es la función de Heaviside con y sgn es la función signum . Aquí, las funciones u 0 y sgn se utilizan como interruptores "lógicos", de significado similar a los operadores "si... entonces" (si... si no) en los lenguajes de programación. Algunos lenguajes de programación tienen una función especial atan2 ( y , x ) que devuelve el φ correcto en el cuadrante requerido definido por las coordenadas x e y . $u_{0}(0)=0,$

Cartesiano y cilíndrico

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin\varphi,

z=z.\cuádruple

r={\raíz cuadrada {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\nombre del operador {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\nombre del operador {sgn}y,

z=z.\cuádruple

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\r\sin \varphi &r \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}({\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}}&{\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\{\frac {-y}{{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Cartesianas y esféricas

{x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad

{y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;\quad

{\rho}={\raíz cuadrada {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},

{\ theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\nombre del operador {arctg}{\frac ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{z}} ,

{\varphi}=\nombre del operador {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\nombre del operador {sgn}y.

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \ sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \ sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac { xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2))))}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}} }&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Cilíndricos y esféricos

{r}=\rho\,\sin\theta,

{\varphi}=\varphi,\quad

{z}=\rho\,\cos \theta;

{\rho}={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},

{\ theta }=\nombre del operador {arctg}{\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\nombre del operador {sgn}z,

{\varphi}=\varphi.\quad

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta & -\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}{\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z ^{2)))))&0&{\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2))))}\\{\frac {-z}{r^{2} +z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d \varphi\\dz\end{pmatrix}}.

Sistema de coordenadas geográficas

El sistema de coordenadas geográficas brinda la capacidad de identificar cualquier punto en la superficie del globo mediante un conjunto de designaciones alfanuméricas. Por regla general, las coordenadas se asignan de forma que uno de los punteros indica la posición vertical y el otro, o una combinación de otros, la posición horizontal . El conjunto tradicional de coordenadas geográficas es latitud , longitud y altitud [15] . El sistema de coordenadas geográficas que utiliza los tres marcadores enumerados es ortogonal.

La latitud de un punto en la superficie de la Tierra se define como el ángulo entre el plano ecuatorial y la línea recta que pasa por este punto como normal a la superficie del elipsoide base, aproximadamente coincidiendo en forma con la Tierra. Esta línea recta suele pasar a unos pocos kilómetros del centro de la tierra, excepto en dos casos: los polos y el ecuador (en cuyo caso pasa directamente por el centro). Las líneas que unen puntos de la misma latitud se llaman paralelas . 0° de latitud corresponde al plano del ecuador, el Polo Norte de la Tierra corresponde a 90° de latitud norte, el Polo Sur, respectivamente, 90° de latitud sur. A su vez, la longitud de un punto en la superficie de la Tierra se define como el ángulo en dirección este u oeste desde el meridiano principal hasta otro meridiano que pasa por ese punto. Los meridianos que conectan puntos de la misma longitud son semielipses que convergen en los polos. El cero es el meridiano que pasa por el Observatorio Real de Greenwich , cerca de Londres . En cuanto a la altura, se mide a partir de la superficie condicional del geoide , que es una representación espacial abstracta del globo.

Véase también

coordenadas galileanas
Coordenadas gaussianas
Coordenadas normales
Coordenadas riemannianas
Origen , eje de coordenadas , ort
Estándar local de reposo (origen de las coordenadas en astronomía)
Sistema de coordenadas ortodrómico principal
Dimensión del espacio
Transformaciones afines

Notas

↑ Parkhomenko A. S. Sistema de coordenadas afines. — Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ Sklyarenko E. G. Coordenadas baricéntricas. — Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ Weisstein, Eric W. Coordenadas bipolares en el sitio web Wolfram MathWorld .
↑ Dolgachev I.V., Pskovskikh V.A. Coordenadas bipolares. — Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ R. Price, La aproximación de onda estacionaria periódica: coordenadas adaptadas y métodos espectrales. . Consultado el 11 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ La aproximación periódica de ondas estacionarias: campos escalares no lineales, coordenadas adaptadas y el método eigenespectral. . Consultado el 11 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 2 de abril de 2019. (indefinido)
↑ Sokolov D. D. Coordenadas bicilíndricas. — Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ MathWorld descripción de coordenadas cónicas . Consultado el 11 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 6 de octubre de 2013. (indefinido)
↑ MathWorld descripción de coordenadas parabólicas . Consultado el 11 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 2 de junio de 2013. (indefinido)
↑ Voitsekhovsky M. I. Coordenadas proyectivas. — Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ Descripción de MathWorld de las coordenadas toroidales . Consultado el 11 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 20 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Weisstein, Eric W. Coordenadas trilineales en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ MathWorld descripción de coordenadas cilíndricas parabólicas . Consultado el 11 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 11 de noviembre de 2020. (indefinido)
↑ Sokolov D. D. Coordenadas elipsoidales. — Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ Una guía para los sistemas de coordenadas en Gran Bretaña Archivado el 22 de abril de 2008. v1.7 de octubre de 2007

Literatura

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Método de coordenadas. (enlace inaccesible) Quinta edición, estereotipada. Serie: Biblioteca de la Facultad de Física y Matemáticas. Matemáticas. Número 1. M.: Nauka, 1973.
Delaunay N. B. Coordenadas, en matemáticas // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Enlaces

Lección opcional de matemáticas sobre el tema: "Diferentes sistemas de coordenadas"