Teorema de conservación del volumen de fase de Liouville

El teorema de Liouville , llamado así por el matemático francés Joseph Liouville , es un teorema clave en física matemática , física estadística y mecánica hamiltoniana . El teorema afirma la conservación en el tiempo del volumen de fase, o la densidad de probabilidad en el espacio de fase.

Redacción

La función de distribución de un sistema hamiltoniano es constante a lo largo de cualquier trayectoria en el espacio de fases .

Ecuación de Liouville

La ecuación de Liouville describe la evolución temporal de la función de distribución ( densidad de probabilidad ) de un sistema hamiltoniano en un espacio de fase bidimensional ( es el número de partículas en el sistema). Considere un sistema hamiltoniano con coordenadas y momentos conjugados , donde . Luego, la distribución en el espacio de fase determina la probabilidad de que el sistema esté en el elemento de volumen de su espacio de fase. ${\ estilo de visualización 6N}$ $norte$ $q_{yo}$ $Pi}$ ${\ estilo de visualización i = 1, \ puntos, d,}$ ${\ estilo de visualización d = 3N}$ ${\ estilo de visualización \ rho (p_ {i}, q_ {i})}$ $\rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$ $\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p$

La ecuación de Liouville describe la evolución en el tiempo según la regla para encontrar la derivada total de una función , teniendo en cuenta la incompresibilidad del flujo en el espacio de fase: ${\ estilo de visualización \ rho (p_ {i}, q_ {i}; t)}$ $t$

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t))={\frac {\parcial \rho }{\parcial t))+\sum _{i=1}^ {d}\left({\frac {\parcial \rho }{\parcial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\mathrm {d} t))+{\ frac {\parcial \rho }{\parcial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right)=0.

Las derivadas temporales de las coordenadas de fase para los sistemas hamiltonianos se describen de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton :

{\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\parcial H}{\ parcial p_{i}}},

{\dot {p}}_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\parcial H}{ \parcial q_{i}}}.

Una prueba simple del teorema es la observación de que la evolución está determinada por la ecuación de continuidad (continuidad) : $\rho$

{\frac {\parcial \rho }{\parcial t))+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\parcial \rho }{\parcial t))+\ rho \operatorname {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatorname {grado} \rho =0,

donde es la velocidad de movimiento del volumen estudiado del espacio fase: $\mathbf{v}$

\nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\parcial (\rho {\dot {q))_{ i})}{\parcial q_{i))}+{\frac {\parcial (\rho {\dot {p))_{i})}{\parcial p_{i))}\right)

y la observación de que la diferencia entre esta expresión y la ecuación de Liouville está determinada únicamente por el término que describe la divergencia, a saber, su ausencia, lo que significa la ausencia de fuentes o sumideros de la densidad de probabilidad:

\rho \operatorname {div} \mathbf {v} =\rho \sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\parcial {\dot {q))_{i} }{\parcial q_{i))}+{\frac {\parcial {\dot {p))_{i)){\parcial p_{i))}\right)=\rho \sum _{i= 1}^{d}\left({\frac {\parcial ^{2}H}{\parcial q_{i}\,\parcial p_{i))}-{\frac {\parcial ^{2}H }{\parcial p_{i}\,\parcial q_{i}}}\right)=0,

donde es el hamiltoniano , y se utilizaron las ecuaciones de Hamilton . Esto se puede representar como el movimiento a través del espacio de fase del “flujo fluido” de los puntos del sistema. El teorema significa que la derivada de Lagrange o la derivada sustancial de la densidad es igual a cero. Esto se deriva de la ecuación de continuidad , ya que el campo de velocidad en el espacio de fase no tiene divergencias, lo que a su vez se deriva de las ecuaciones hamiltonianas para sistemas conservativos. $H$ $d\rho /dt$ ${\ estilo de visualización ({\ punto {p)), {\ punto {q)))}$

Interpretación geométrica

Considere la trayectoria de un pequeño punto (un conjunto de puntos) en el espacio de fase. Moviéndose a lo largo de un conjunto de trayectorias, el punto se estira en una coordenada, por ejemplo, pero se comprime en otra coordenada para que el producto permanezca constante. El área del spot (volumen de fase) no cambia. $Pi}$ $q_i$ ${\displaystyle \Delta p_{i}\,\Delta q_{i))$

Más precisamente, el volumen de fase se conserva a lo largo de los cambios de tiempo. si un $\Gama$

\int \limits _{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,

y es el conjunto de puntos en el espacio de fase en el que el conjunto puede evolucionar en el tiempo , entonces ${\ estilo de visualización \ gamma (t)}$ $\Gama$ $t$

\int \limits _{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C

para todos los tiempos El volumen del espacio de fases de un sistema hamiltoniano se conserva porque la evolución del tiempo en la mecánica hamiltoniana es una transformación canónica , y todas las transformaciones canónicas tienen una unidad jacobiana . $t$

A través de la forma simpléctica

Sea una variedad simpléctica y sea una función suave. Sea un gradiente simpléctico , es decir, un campo vectorial que satisfaga la relación ${\ estilo de visualización (M, \ omega)}$ $H\dos puntos M\to \mathbb {R}$ $V$ $H$

dH(X)=\omega(V,X)

para cualquier campo vectorial . Después $X$

{\mathcal {L}}_{V}\omega =0,

donde denota la derivada de Lie . $\mathcal{L}$

De este enunciado se sigue el teorema de Liouville. De hecho, de la identidad anterior se sigue que

{\mathcal {L}}_{V}\omega ^{\wedge n}=0,

y si es -dimensional, entonces es la forma de volumen en . $METRO$ $2n$ $\omega ^{{\cuña n}}$ $METRO$

Interpretación física

El número total esperado de partículas es la integral sobre todo el espacio de fase de la función de distribución:

N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)

(Factor de normalización omitido). En el caso más simple, cuando una partícula se mueve en el espacio euclidiano en un campo de fuerzas potenciales con coordenadas y momentos , el teorema de Liouville se puede escribir como $\mathbf {F}$ $\mathbf{x}$ ${\ matemáticas {p}}$

{\frac {\parcial \rho }{\parcial t))+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{ m}}\cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho =0,

donde esta la velocidad. En la física del plasma, esta expresión se denomina ecuación de Vlasov o ecuación de Boltzmann sin colisión y se utiliza para describir un gran número de partículas sin colisión que se mueven en un campo de fuerza autoconsistente . $\mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} ))$ $\mathbf {F}$

En la mecánica estadística clásica, el número de partículas es grande, del orden del número de Avogadro . En el caso estacionario , se puede encontrar la densidad de microestados disponibles en un conjunto estadístico dado . Para estados estacionarios , la función de distribución es igual a cualquier función del hamiltoniano , por ejemplo, en la distribución de Maxwell-Boltzmann , donde es la temperatura , es la constante de Boltzmann . $norte$ $\parcial\rho/\parcial t = 0$ $\rho$ $H$ ${\displaystyle \rho \sim e^{-H/kT))$ $T$ $k$

Notación a través del corchete de Poisson

Usando el corchete de Poisson , que en coordenadas canónicas es ${\ estilo de visualización (q ^ {i}, p_ {j})}$

\{A,B\}=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\parcial A}{\parcial q^{i))}{\frac {\ parcial B}{\parcial p_{i))}+{\frac {\parcial A}{\parcial p_{i))}{\frac {\parcial B}{\parcial q^{i))}\right ),

la ecuación de Liouville para sistemas hamiltonianos toma la forma

{\frac {\parcial \rho }{\parcial t))=-\{\rho ,H\}.

Notación usando el operador de Liouville

Usando el operador de Liouville

i{\hat {L}}=\sum _{i=1}^{d}\left[{\frac {\parcial H}{\parcial p_{i))}{\frac {\parcial }{\parcial q_{i))}-{\frac {\parcial H}{\parcial q_{i))}{\frac {\parcial }{\parcial p_{i))}\right]

la ecuación para los sistemas hamiltonianos toma la forma

{\frac {\parcial \rho }{\parcial t))+i{\hat {L))\rho =0.

Notas

La cuantización canónica da una versión mecánica cuántica del teorema.

Este procedimiento, a menudo utilizado para obtener análogos cuánticos de sistemas clásicos, implica describir el sistema clásico utilizando la mecánica hamiltoniana. Luego, las variables clásicas se reinterpretan, es decir, como operadores cuánticos, mientras que los corchetes de Poisson se reemplazan por conmutadores . En este caso, obtenemos la ecuación

{\frac {\parcial }{\parcial t}}\rho ={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],

donde ρ es la matriz de densidad . Esta ecuación se llama ecuación de von Neumann y describe la evolución de los estados cuánticos de los sistemas hamiltonianos.

La ecuación de Liouville es válida para sistemas en equilibrio y no equilibrio. Esta es la ecuación fundamental de la mecánica estadística de no equilibrio.

La suposición de la incompresibilidad del flujo de fase, es decir, el cumplimiento de la condición.

\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\parcial }{\parcial q_{i))}{\frac {\mathrm {d} q_{i)){\ mathrm {d} t))+{\frac {\parcial }{\parcial p_{i))}{\frac {\mathrm {d} p_{i)){\mathrm {d} t))\right) =0,

es significante. En el caso general de un sistema dinámico arbitrario

{\dot {q}}_{i}=Q_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t),\quad {\dot {p}}_{i}=P_ {i}(\mathbf {p},\mathbf {q},t)

la ecuación para la evolución temporal de la densidad de distribución de partículas en el espacio de fase se obtiene a partir de la ecuación de equilibrio ${\ estilo de visualización \ rho (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}, t)}$

\rho (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',t')\,d\Lambda '=\rho (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\,d \Lambda,

t'=t+dt,\quad p_{i}'=p_{i}+P_{i}\,dt,\quad q_{i}'=q_{i}+Q_{i}\, dt,\quad d\Lambda '=d\Lambda \left[1+dt\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\parcial Q_{i)){\parcial q_{i ))}+{\frac {\parcial P_{i}}{\parcial p_{i}}}\right)\right]

(la última relación es la escala del elemento de volumen de fase con un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de fase). La ecuación final tiene la forma

{\frac {\parcial \rho }{\parcial t))+\sum _{i=1}^{d}\left({\frac {\parcial (\rho Q_{i})}{ \parcial q_{i))}+{\frac {\parcial (\rho P_{i})}{\parcial p_{i))}\right)=0

(ver también la ecuación de Fokker-Planck ) y en el caso coincide con la ecuación de Liouville. ${\displaystyle Q_{i}=\parcial H/\parcial p_{i},\ P_{i}=-\parcial H/\parcial q_{i))$

Véase también

Integral de Poincaré-Cartán