Función delta

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La función delta (o medida delta, función δ , función δ -Dirac, delta de Dirac, función de impulso unitario ) es una función generalizada que le permite registrar una acción puntual, así como la densidad espacial de cantidades físicas (masa, carga, intensidad de una fuente de calor, fuerza , etc. ), concentrada o aplicada en un punto.

Por ejemplo, la densidad de una unidad de masa puntual m ubicada en el punto a en un espacio euclidiano unidimensional se escribe usando una función en la forma La función delta también es aplicable para describir la distribución de carga, masa , etc. en superficies o líneas . $\R^1,$ $\delta$ $m\delta(xa).$

A pesar de la forma común de escritura, la función - no es una función de una variable real, sino que se define como una función generalizada : un funcional lineal continuo en el espacio de funciones diferenciables. Puedes introducir una derivada para la función δ, que también será una función generalizada, y una integral, definida como una función de Heaviside . Es fácil encontrar secuencias de funciones clásicas ordinarias que convergen débilmente a una función. ${\ estilo de visualización \ delta (x), x \ en \ mathbb {R},}$ $\delta$ $\delta$

Es posible distinguir entre funciones delta unidimensionales y multidimensionales, sin embargo, estas últimas pueden representarse como un producto de funciones unidimensionales en una cantidad igual a la dimensión del espacio sobre el que se define la función multidimensional.

Introducido por el físico inglés Paul Dirac .

Definiciones

Hay diferentes puntos de vista sobre el concepto de una función delta. Los objetos resultantes, estrictamente hablando, son diferentes, pero tienen una serie de propiedades características comunes. Todas las construcciones que se indican a continuación se generalizan naturalmente a los casos de espacios de mayor dimensión . $(\R^n,\n>1)$

Definición simple

La función delta (función de Dirac) de una variable real se puede definir como una función que cumple las siguientes condiciones: $\delta(x)$

$\delta(x)=\left\{\begin{matriz} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matriz}\right.$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1.$

Es decir, esta función no es igual a cero sólo en el punto donde se vuelve infinito, de modo que su integral sobre cualquier vecindad es igual a 1. En este sentido, el concepto de una función delta es similar a los conceptos físicos de un punto. masa o carga puntual . Para entender la integral, es útil imaginar cierta figura en un plano con unidad de área , por ejemplo, un triángulo . Si disminuimos la base de este triángulo y aumentamos la altura para que el área permanezca sin cambios, entonces, en el caso límite, obtenemos un triángulo con una base pequeña y una altura muy grande. Por suposición, su área es igual a la unidad, lo cual se muestra en la integral. En lugar de un triángulo, puede usar cualquier figura sin pérdida de generalidad. Condiciones similares son ciertas para las funciones delta definidas en $x=0$ $x=0$ $\mathbb{R}^n.$

Estas igualdades generalmente no se consideran la definición de la función delta, pero en muchos libros de texto de física se define de esta manera, y esto es suficiente para una definición precisa de la función delta. Tenga en cuenta que esta definición de la función delta implica la siguiente igualdad

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(xy)f(x)\,dx=f(y)

(propiedad de filtrado) para cualquier función f . De hecho, debido a la propiedad en , el valor de esta integral no cambia si la función se reemplaza por la función , que es igual en el punto y tiene valores arbitrarios en otros puntos. Por ejemplo, tomamos , luego lo sacamos del signo integral y, usando la segunda condición en la definición de la función delta, obtenemos la igualdad deseada. $\delta(xy)=0$ $x\ney$ $f(x)$ $\tilde{f}(x)$ $f(x)$ $x=y$ $\tilde{f}(x)=f(y)=\nombre del operador {const}$ $f(y)$

Las derivadas de la función delta también son iguales a 0 en casi todas partes y se convierten en . $\pm\infty$ $x=0$

Clásica definición

Una función delta se define como un funcional continuo lineal en algún espacio funcional ( el espacio de las funciones de prueba ). Dependiendo del objetivo y las propiedades deseadas, este puede ser un espacio de funciones con soporte compacto , un espacio de funciones que decrece rápidamente en el infinito , funciones suaves en una variedad , funciones analíticas , etc. Para definir derivadas de una función delta con buena propiedades, en todos los casos las funciones principales se toman infinitamente diferenciables, el espacio de funciones principales también debe ser un espacio métrico completo . Consulte el artículo relacionado para obtener un enfoque general de las funciones genéricas . Estas funciones generalizadas también se denominan distribuciones .

Consideraremos la opción más simple. Como espacio de funciones básicas, consideramos el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables en el intervalo. La secuencia converge a si, en cualquier conjunto compacto , las funciones convergen a uniformemente junto con todas sus derivadas: ${\ matemáticas {E}}$ $\varphi_n\in\mathcal{E}$ $\varphi\in\mathcal{E}$ $K\in\R$ $\varphi_n$ $\varphi$

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=\varphi\iff\sup_j\sup_{x\in K}\left|\varphi^{(j)}_n(x)-\varphi^{(j)} (x)\right|\xrightarrow{n\to\infty}\,0.

Este es un espacio metrizable localmente convexo. Definimos la función delta como un funcional tal que $\delta\in\mathcal{E}^\prime$

\forall\varphi\in\mathcal{E}:\;\lang\delta;\;\varphi\rang=\varphi(0).

Continuidad significa que si , entonces . Aquí está el valor del funcional en la función . $\varphi_n\a\varphi$ $\lang\delta;\;\varphi_n\rang\to\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\varphi$

Función delta de Colombo

A la expresión integral utilizada para trabajar con la función delta se le puede dar un significado cercano a la intuición, en el marco de la teoría del álgebra de funciones de Colombo generalizadas ( English Colombeau algebra ) [1] .

Sea un conjunto de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto, es decir, no igual a cero sólo en un conjunto acotado. Considere un conjunto de funciones $\mathcal{D}$ $f\dos puntos\R\a\R$

\mathcal{A}=\left\{\varphi\in\mathcal{D}\,\bigg|\int_\R\varphi(x)\,dx=1,\;\int_\R x\varphi(x )\,dx=0\derecha\}.

Una función generalizada es una clase de equivalencia de funciones que son infinitamente diferenciables con respecto a x para cada una y satisfacen una cierta condición de moderación (asumiendo que todas sus derivadas con respecto a x crecen bastante lentamente en ). Se supone que dos funciones son equivalentes si , donde hay otra clase de funciones con restricciones en el crecimiento como $R\colon\mathcal{A}\times\R\to\R,$ $R\colon(\varphi,\;x)\mapsto R(\varphi,\;x),$ $\varphi\in\mathcal{A}$ $\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1}),$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\a 0$ $R_1-R_2\in\mathcal{N}$ $\mathcal{N}$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\a 0.$

La función delta se define como La ventaja del enfoque de Colombo es que sus funciones generalizadas forman un álgebra asociativa conmutativa , mientras que los conceptos de integración, diferenciación, límites e incluso valor en un punto se extienden naturalmente al conjunto de funciones generalizadas. En este sentido, la función delta puede verse como una función igual a 0 en todas partes excepto en el punto 0, e igual a infinito en cero, ya que la teoría de Colombo incluye la teoría de números infinitamente grandes e infinitesimales, similar al análisis no estándar. . $\delta(\varphi,\;x)=\varphi(-x).$

El enfoque de Egorov

Una teoría similar de funciones generalizadas se presentó en el trabajo de Yu.V.Egorov [2] . Aunque no es equivalente a la teoría de Colombo, el diseño es mucho más simple y tiene la mayoría de las propiedades deseadas.

Una función generalizada es una clase de equivalencia de sucesiones , las sucesiones se consideran equivalentes si, para cualquier conjunto compacto , las funciones de las sucesiones coinciden a partir de algún número: $f=(f_1,\;f_2,\;\ldots),\;f_i\in C^\infty(\R).$ $F$ $\tilde f$ $\Omega\Subconjunto\R$ $\Omega$

f\sim\tilde f\iff\forall\Omega\Subset\R\ \exists N\ \forall k>N\colon f_k|_\Omega={\tilde f}_k|_\Omega.

Todo tipo de operaciones sobre sucesiones (multiplicación, suma, integración, diferenciación, composición,...) se definen componente por componente. Por ejemplo, la integral de conjunto I se define como la clase de equivalencia de la sucesión

\int_I f(x)\,dx=[(a_1,\;a_2,\;\ldots)],\;a_i=\int_I f_i(x)\,dx.

Dos funciones generalizadas son débilmente iguales si para cualquier función infinitamente suave $\varphi$

\lim_{k\to\infty}\int_I(f_k(x)-{\tilde f}_k(x))\varphi(x)\,dx=0.

En este caso, la función delta está determinada por cualquier secuencia en forma de delta (ver más abajo ), todas esas funciones generalizadas son débilmente iguales.

Propiedades

La función delta es par .
La integral de la función delta sobre cualquier intervalo que contenga cero, es decir, un intervalo de la forma donde y son números reales positivos arbitrarios, es igual a 1. $(-a_1,\;a_2),$ $un_{1}$ $un_{2}$
$x\delta^\prime(x)=-\delta(x).$
$\delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}$ , donde son los ceros simples de la función . $x_k$ $f(x)$

La antiderivada de la función delta unidimensional es la función de Heaviside :

\theta (x)=\left\{{\begin{matriz}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{matriz} }\Correcto.

Propiedad de filtrado de la función delta:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

La función δ como límite débil

Dejar $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$

Entonces la secuencia

f_n(x)=nf(nx)

converge débilmente a la función -. $\delta$

La elección de una función integrable cuya integral definida es igual a 1 en el rango de a es arbitraria. $f(x),$ ${-\infty}$ ${\ Displaystyle {+\ infinitos}}$

Por ejemplo, como puedes elegir la función sinc : dando la secuencia: $f(x)$ $f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x)),$

f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x))={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x }}.

Si se requiere que todas las funciones de la sucesión sean positivas en todas partes, se puede elegir, por ejemplo, la función gaussiana normalizada o cualquier otra función no negativa en todas partes cuya integral sea igual a 1:

f(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},

f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-(nx)^2}.

Representación integral

En muchas aplicaciones, la representación integral de la función delta resulta conveniente:

\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega.

Prueba

Considere la integral

I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,

(una)

que se puede interpretar como el límite

I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),

dónde

I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\ fracción{\sin{tN}}{tN}.

(2)

Se sabe que

\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.

(3)

En virtud de (3), para cualquier , la igualdad es verdadera: $norte$

\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN }}{tN}\,d(tN)=1.

(cuatro)

Se puede demostrar ( ver arriba ) que con un crecimiento ilimitado de N, para la función (2) todas las propiedades de la función delta resultan ser verdaderas, y en cierto sentido tiende a ${\ estilo de visualización \ delta (t).}$

Derivada de la función delta

Por definición de la derivada de la función delta : $\delta(x)$

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(xa)\,dx=-f^\prime(a)

(extensión de la integración por partes al caso de integrandos que contienen una función delta).

De manera similar para la n-ésima derivada de la función delta:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\f parcial}{\x parcial}\delta^{[n-1]}(xa)\,dx.

Y luego de integrar por partes n veces, finalmente obtenemos:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\parcial^nf (x)}{\x parcial^n}\right|_{x=a}.

Para la derivada de la función delta, se cumple la siguiente identidad:

f(x)\delta^\prime(x)=f(0)\delta^\prime(x)-f^\prime(0)\delta(x),

que se puede obtener diferenciando el producto . $f(x)\delta(x)$

Transformada de Fourier

En esta sección aplicaremos la normalización correspondiente a la convención del coeficiente unitario en la transformación inversa, es decir, teniendo en cuenta $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d \omega.$
Las fórmulas en esta sección tienen análogos correspondientes para la transformada de Fourier multidimensional.

La transformada de Fourier se puede aplicar a la función delta :

F\left\{\delta(t-t_0)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot t_0}.

Por lo tanto, el espectro (transformada de Fourier) de una función delta centrada en , es una "onda" en el espacio de frecuencias, que tiene un "período" . En particular, el espectro (transformada de Fourier) de una función delta centrada en cero es una constante (en un sentido amplio, una "onda" con un "período" infinitamente grande): $t_0$ $\frac{2\pi}{t_0}$

F\left\{\delta(t)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot 0} = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}.

En consecuencia, por el contrario, la función delta es la transformada de Fourier de una función armónica pura o constante.

Representación de funciones delta multidimensionales en varios sistemas de coordenadas

En espacio n -dimensional en coordenadas cartesianas (base ortonormal):

\int\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\,d^nx=1;

\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

En el espacio 2D:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x,\;y)\,dx\,dy=1;

\delta^2(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^2(x,\;y);

\delta^2(x,\;y)=\delta(x)\delta(y).

En coordenadas polares:

\delta^2(r,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi\izquierda|r\derecha|}

- sin desplazamiento con respecto al origen (con una singularidad en r = 0 ),

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|}

— con una singularidad en un punto en posición general para r = 0 se extiende por cero.

(r_0,\;\varphi_0);

En el espacio 3D:

\iiiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^3(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;

\delta^3(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z).

En un sistema de coordenadas cilíndricas :

\delta^3(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{2\pi r}

— sin desplazar en relación con el origen (con una singularidad en ),

r=0,\;z=0

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|}

— con una singularidad en un punto en posición general para r = 0 se extiende por cero.

(r_0,\;\varphi_0,\;z_0);

En un sistema de coordenadas esféricas :

\delta^3(r,\;\theta,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}

- sin desplazamiento con respecto al origen (con una singularidad en r = 0 ). En fórmulas con una singularidad en el origen, a menudo se utilizan coeficientes dos veces más grandes (1/π para cilíndricos y polares, 1/2π para esféricos). Esto se debe al hecho de que se supone que el resultado de la integración es el doble de pequeño si el punto singular está exactamente en el límite del intervalo de integración.

Interpretación física

Cerca del punto cargado, el campo es infinito, las series de Taylor para el campo no convergen, por lo que se introducen funciones especiales. Una de estas funciones es la función delta. La cuestión del campo de una partícula cargada puntualmente es comparativamente complicada, así que primero consideremos un ejemplo más simple.

Impulso instantáneo

Supongamos que una partícula que es capaz de moverse a lo largo de una línea recta, tras un impacto de una duración despreciable, adquiera repentinamente cierta velocidad. Hagámonos una pregunta: ¿cómo calcular la aceleración que adquiere el cuerpo? Construyamos un gráfico del cambio de velocidad a lo largo del tiempo. El gráfico se verá así:

Este gráfico es casi en todas partes el gráfico de la función de Heaviside . La derivada de la función de Heaviside es una función delta unitaria, cuyo gráfico se puede representar convencionalmente como

Este gráfico muestra una aceleración infinita con una aceleración instantánea. En general, la aceleración del impacto se puede escribir como

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Masa/carga de un punto material

Si necesita encontrar la masa total (carga total) de una cierta distribución de densidad (o densidad de carga ), que, junto con el componente continuo , también contiene masas puntuales (cargas), entonces es conveniente en lugar de una fórmula que toma por separado en cuenta la densidad final continua y las aportaciones discretas: ${\ estilo de visualización \ rho _ {\ mathrm {continuar}}}$

{\displaystyle M=\int \rho_{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum_{i}m_{i))

donde está el radio vector de la posición del elemento en cuestión (para mayor precisión, las designaciones corresponden a la masa, no a la carga), es simple escribir: $\mathbf{x}$

M=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV

lo que significa que incluye componentes continuos y tipo delta, es decir, concentrados en puntos geométricos (uno para cada objeto de punto ): $\rho(\mathbf{x})$ $mi$

\rho (\mathbf {x} )=\rho_{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )+\sum_{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} - \mathbf {x} _{i})

Otros ejemplos

La función delta se usa en física matemática para resolver problemas que incluyen cantidades concentradas. En el límite semiclásico ( ) de la mecánica cuántica , las funciones de onda se localizan en paquetes de ondas con envolturas tipo delta (es decir, que tienen la forma de una función delta en el límite), y las regiones de su localización se mueven a lo largo de trayectorias clásicas de acuerdo con Las ecuaciones de Newton . $\hbar\flecha derecha 0$
La transformada de Fourier de la unidad es una función delta. Esto permite formular de forma más cómoda y matemáticamente rigurosa varios problemas relacionados con la transformada de Fourier, que son muy numerosos: óptica ondulatoria, acústica y teoría de vibraciones. En la mecánica cuántica, las transformadas de Fourier de las funciones de onda desempeñan un papel fundamental y técnico primordial; fue por esto que Dirac introdujo por primera vez la función delta.
Las funciones delta juegan el papel de funciones propias de un operador con un espectro continuo en representaciones donde este operador es diagonal. Por lo tanto, juegan el papel de una base en la representación diagonal del operador.
Una aplicación importante de las funciones delta es su participación en el aparato de funciones de Green de operadores lineales. Para un operador lineal que actúa sobre funciones generalizadas sobre una variedad , la ecuación que define la función de Green con una fuente en un punto tiene la forma $L$ $METRO$ $gramo$ $x_0,$

L\,g(x,\;x_0)=\delta(x-x_0).

Especialmente común es la aplicación de este aparato al operador de Laplace (electrostática, conductividad térmica, difusión, teoría mecánica de la elasticidad) y operadores similares a él, como el operador de d'Alembert (acústica, electrodinámica, teoría cuántica de campos, donde el de Green La función a menudo tiene el nombre especial propagator ).

Para el Laplaciano en la función de Green es la función , de modo que $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización 1/r}$

\Delta\izquierda(\frac{1}{r}\derecha)=-4\pi\delta(\mathbf{r}),

donde es la distancia al origen de coordenadas. Este hecho se utiliza para demostrar que la expresión del potencial escalar

r

\Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^ {\principal}\derecho|}}\,d^{3}x^{\principal}

satisface la ecuación de Poisson :

\Delta\Phi=-4\pi\varrho.

Véase también

Notas

↑ Colombeau JF Elementary Introducción a las nuevas funciones generalizadas. - Ámsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 p. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Egorov Yu. V. Sobre la teoría de funciones generalizadas // Uspekhi Mat. - 1990. - T. 45 , núm. 5 (275) . - S. 3-40 .

Literatura

Dirac P. A. M. Fundamentos de la mecánica cuántica / Per. De inglés. - M. , 1932 (hay muchas reimpresiones).
Kudryavtsev L. D. Curso corto de análisis matemático. - Volumen 2. - ISBN 5-9221-0185-4 .
Weisstein, Eric W. Delta Function (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Hermander L. Análisis de ecuaciones diferenciales lineales. - Volúmen 1.
Hermander L. Operadores diferenciales parciales lineales.
Gel'fand I. M., Shilov G. E. Funciones y acciones generalizadas sobre ellos.
Krasnopevtsev EA Métodos matemáticos de la física. Preguntas seleccionadas.