Four Fours es un acertijo matemático para encontrar la expresión matemática más simple para cada número entero desde 0 hasta algún máximo, utilizando solo símbolos matemáticos comunes y cuatros (no se permiten otros números). La mayoría de las versiones de "cuatro 4" requieren que cada expresión contenga exactamente cuatro 4, pero algunas variaciones requieren que cada expresión tenga un número mínimo de 4.
Hay muchas variaciones de este rompecabezas. Su principal diferencia es qué operaciones matemáticas están permitidas. Casi todas las variaciones permiten al menos la suma ("+"), la resta ("−"), la multiplicación ("×"), la división ("÷") y los corchetes, así como la concatenación (por ejemplo, se permite escribir "44"). ) . La mayoría también permite factorial ("!"), exponenciación (p. ej., "44 4 "), punto decimal (".") y raíz cuadrada ("√"), aunque a veces la raíz cuadrada se excluye específicamente sobre la base de que es implícito "2" para la raíz cuadrada. Se permiten otras operaciones en algunas variantes, incluida la subfactorial ("!" antes de un número: !4 es igual a 9), primorial ("#" después de un número, por ejemplo, 4# es igual a 6), "()" o "barra sobre" (secuencia de dígitos que se repiten infinitamente), una raíz de cualquier grado, funciones gamma (Γ (), donde Γ (x) \u003d (x - 1)!) Y porcentaje ("%"). Así, 4/4% = 100 y Γ (4) = 6. La línea tiene el siguiente significado:
Como regla general, no se permite el uso de logaritmos, ya que existe una forma trivial de expresar cualquier número al usarlo. Paul Burke, citando a Ben Rudyak-Gould, describió el uso de logaritmos naturales (ln()) para representar cualquier número natural n :
Son posibles opciones adicionales (generalmente con un nombre diferente): con el reemplazo de un conjunto de números ("4, 4, 4, 4") con otro, digamos, el año de nacimiento de alguien. Por ejemplo, usar "1975" requeriría solo un 1, un 9, un 7 y un 5 para usarse en la expresión de cada número.
Aquí hay un conjunto de soluciones de cuatro cuatros para números del 0 al 20 usando reglas de muestra. Algunas soluciones alternativas también se enumeran aquí, aunque en realidad hay muchas más soluciones correctas.
0 = 4 ÷ 4 × 4 − 4 = 44 −44 1 = 4 ÷ 4 + 4 − 4 = 44 ÷ 44 2 = 4 −(4 + 4) ÷ 4 = (44 + 4) ÷ 4! 3 = (4 × 4 − 4) ÷ 4 = (4 + 4 + 4) ÷ 4 4 = 4 + 4 ×(4 − 4) = −44 + 4! +4! 5 = (4 × 4 + 4) ÷ 4 = (44 − 4!) ÷ 4 6 = 4 +(4 + 4) ÷ 4 = 4,4 + 4 × 0,4 7 = 4 + 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 − 4 8 = 4 ÷ 4 × 4 + 4 = 4,4 −0,4 + 4 9 = 4 ÷ 4 + 4 + 4 = 44 ÷ 4 −√4 10 = 4 + 4 + 4 −√4 = (44 − 4) ÷ 4 11 = 4 ÷ 4 + 4 ÷ .4 = 44 ÷√4 ÷√4 12 = 4 ×(4 − 4 ÷ 4) = (44 + 4) ÷ 4 13 = (4 −0,4)÷0,4 + 4 = 44 ÷ 4 +√4 14 = 4 ×(4 −.4)−.4 = 4 + 4 + 4 +√4 15 = 4 × 4 − 4 ÷ 4 = 44 ÷ 4 + 4 16 = 4 × 4 + 4 − 4 = (44 − 4) × 0,4 17 = 4 × 4 + 4 ÷ 4 = (44 + 4!) ÷ 4 18 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷√4) − 4 19 = 4!− 4 −(4 ÷ 4) = (4 + 4 −0,4) ÷ 0,4 20 = 4 ×(4 + 4 ÷ 4) = (44 − 4) ÷√4También hay muchas otras formas de presentación.
Presta atención a la notación de algunas fracciones decimales. Entonces, "0.4" generalmente se escribe como ".4". Esto se debe a que "0" es un número y solo se pueden usar los números "4" en este rompecabezas.
Por lo general, un número dado tendrá múltiples soluciones posibles y cualquier solución que cumpla con las reglas es aceptable. Algunas variantes prefieren el número "más pequeño" de operaciones, o prefieren algunas operaciones sobre otras. Otros simplemente prefieren soluciones "interesantes", es decir, una forma sorprendente de lograr el objetivo. El número más grande que se puede escribir con solo cuatro 4, cuatro operaciones aritméticas y potencias es 4 4 4 4 , que es aproximadamente igual a 10 10 154 .
Algunos números, como 113 y 123, son especialmente difíciles de resolver dentro de las reglas típicas. Para 113, Wheeler sugiere Γ (Γ (4)) - (4 + 4!) / 4. Para 123, Wheeler sugiere la expresión:
El uso de un porcentaje ("%") permite soluciones para muchos más números, como 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%. Por lo tanto, no está permitido en todas las opciones.
El rompecabezas se describe por primera vez de forma impresa en Mathematical Essays and Amusements ( WW Rose Ball , 1892). En este libro, los "cuatro cuatro patas" se describen como "entretenimiento tradicional".
Este problema y sus generalizaciones (por ejemplo, "cinco cincos" y "seis seises" como se muestra a continuación) se pueden resolver mediante un algoritmo simple. La solución es construir una tabla hash que asigne números a cadenas. En estas tablas, los números clave se pueden representar como algunas combinaciones válidas de operadores y símbolos d , que denotan, por ejemplo, cuatro, y valores, que son cadenas que contienen fórmulas reales. Hay una tabla para cada número n ocurrencias de d. Por ejemplo, cuando d = 4, las tablas hash para dos apariciones de d contendrán pares como este: valor-clave 8 y cadena 4 + 4 , y para tres apariciones, por ejemplo, pares como este: valor-clave 2 cadena ( 4 +4) / 4 (filas en negrita). El problema se reduce entonces a calcular recursivamente estas tablas hash con incrementos de n, comenzando en n = 1 y continuando hasta, por ejemplo, n = 4. Las tablas para n = 1 y n = 2 son triviales porque contienen elementos primitivos . Por ejemplo, para n = 1 obtenemos:
T[4] := "4"; T[4/10] := ".4"; T[4/9] := ".(4)";y para n = 2:
T[44] := "44";.Actualmente hay dos formas en las que se pueden generar nuevos registros como combinación de los existentes, usando operadores binarios o aplicando factorial o raíz cuadrada (que no usan instancias adicionales de d). En el primer caso, se consideran e iteran todos los pares de subexpresiones que utilizan un total de n d casos . Por ejemplo, cuando n=4 , nos gustaría probar (a, b) con a que contiene una instancia de d y tres b , o a que contiene dos instancias de d y b con 2 d . Entonces podríamos ingresar a+b, ab, ba, a*b, a/b, b/a) en la tabla hash, incluidos los paréntesis, para n=4 . Aquí los conjuntos A y B contienen respectivamente a y b , calculados recursivamente, basados en n=1 y n=2 . La memorización se utiliza para garantizar que cada valor de la tabla hash se calcule solo una vez.
En el segundo caso (factoriales y raíces), el procesamiento pasa por una función auxiliar que se llama cada vez que se escribe el valor de V. Esta función calcula factoriales anidados y raíces V hasta una profundidad máxima limitada por números.
El último paso del algoritmo es iterar la clave de la tabla para el valor requerido de n , y obtener y clasificar aquellas claves que son números enteros. Este algoritmo se usó para calcular los ejemplos de cinco cincos y seis seises a continuación. Cada vez que se optaba por una fórmula más compacta (en cuanto al número de caracteres de los valores correspondientes) cuando la clave aparecía más de una vez.
En la siguiente tabla, la entrada .6… representa el valor 6/9 o 2/3 (de la fracción periódica 6).
241 = ((.6+((6+6)*(6+6)))/.6) 242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/.6)) 243 = (6+((6*(.6*66))-.6)) 244 = (.6...*(6+(6*(66-6)))) 245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6) 246 = (66+(6*((6*6)-6))) 247 = (66+((6+((6)!/.6...))/6)) 248 = (6*(6+(6*(6-(.6.../6))))) 249 = (.6+(6*(6+((6*6)-.6)))) 250 = (((6*(6*6))-66)/.6) 251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6)) 252 = (66+(66+((6)!/6))) 253 = ((6/6)+(6*(6+(6*6)))) 254 = ((.6...*((6*66)-6))-6) 255 = ((((6*6)+66)/.6)/.6...) 256 = (6*(6*(6-(6/(.6-6))))) 257 = (6+(((6)!+((6)!+66))/6)) 258 = ((6)!-(66+(6*66))) 259 = ((((6*6)+((6)!/6))-.6)/.6) 260 = ((66+(((6)!/.6)/6))-6)