Primordial

Primorial , primorial ( ing. Primorial ) - en teoría de números, una función sobre una serie de números naturales , similar a la función factorial , con la diferencia de que primorial es un producto secuencial de números primos menores o iguales a uno dado, mientras que factorial es un producto secuencial de todos los números naturales menores o iguales a un número dado.

El término "primorial" fue introducido en la circulación científica por el ingeniero y matemático estadounidense Harvey Dubner [1] .

Definición de números primos

Para el enésimo primo p n el primorial p n # se define como el producto de los primeros n primos [2] [3] :

p_{n}\#=\prod_{k=1}^{n}p_{k},

donde p k es el k -ésimo número primo.

Por ejemplo, p 5 # denota el producto de los primeros 5 números primos:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Así que los primeros seis primoriales son:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (la secuencia OEIS A002110 también incluye p 0 # = 1 como producto vacío ).

Asintóticamente, los primoriales p n # crecen según

p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},

donde es la notación "o" pequeña [3] . $o(\cdot)$

Definición de números naturales

En general, para un entero positivo n , el primorial n # se puede definir como el producto de números primos menores o iguales que n [2] [4] :

n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,

donde es la función de distribución de primos (secuencia A000720 en OEIS ) que da el número de primos ≤ n , que es equivalente a $\alfiler)$

n\#={\begin{cases}1&{\text{when }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{when simple }}n> 1,\\(n-1)\#&{\text{cuando }}n>1.\end{casos}}

Por ejemplo, 12# es el producto de números primos, cada uno de los cuales es ≤ 12:

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Por lo que se puede calcular como ${\ estilo de visualización \ pi (12) = 5}$

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

Considere los primeros 12 primoriales:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vemos que para los números compuestos, cada miembro de esta secuencia simplemente duplica al anterior. En el ejemplo anterior tenemos que 12# = p 5 # = 11# ya que 12 es un número compuesto.

El logaritmo natural n # es la primera función de Chebyshev escrita como o , que se aproxima a una n lineal para valores grandes de n [5] . $\theta(n)$ ${\ estilo de visualización \ vartheta (n)}$

Primoriales n # crecen según

{\ estilo de visualización \ ln (n \ #) \ sim n.}

Funciones y aplicaciones

Los primos juegan un papel importante en la búsqueda de números primos en progresiones aritméticas de números primos . Por ejemplo, sumar los números 2236133941 + 23# da como resultado un número primo que comienza una secuencia de trece primos, que se puede obtener sumando 23# en sucesión, y termina con el número 5136341251. 23# también es la diferencia común en aritmética progresiones de quince y dieciséis números primos.

Cada número de varias partes se puede representar como un producto de primoriales (por ejemplo, 360 = 2 · 6 · 30) [6] .

Todos los primoriales no tienen cuadrados y cada uno tiene divisores primos de cualquier número menor que el primorial. Para todo primorial n , la razón es menor que para cualquier entero, donde es la función de Euler . ${\ estilo de visualización \ phi (n)/n}$ $\fi$

Cada primorial es un número débilmente tociente [7] .

Aproximación

La función zeta de Riemann para números positivos mayores que uno se puede expresar [8] usando el primorial y la función de Jordan : ${\ estilo de visualización J_ {k} (n)}$

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{ r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots

Tabla de valores

norte	norte #	pag norte	p n #
0	una	no existe	no existe
una	una	2	2
2	2	3	6
3	6	5	treinta
cuatro	6	7	210
5	treinta	once	2310
6	treinta	13	30030
7	210	17	510510
ocho	210	19	9699690
9	210	23	223092870
diez	210	29	6469693230
once	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
catorce	30030	43	13082761331670030
quince	30030	47	614889782588491410
dieciséis	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
Dieciocho	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
veinte	9699690	71	557940830126698960967415390

Compositor

El compositor del número n, a diferencia del primorial, es el producto de números compuestos menores que n. El compuesto es igual a la razón del factorial y el primorial de un número: . Las primeras quince compositorías (excluyendo los valores de repetición) son 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 11588800670707072072000 [10] [10] [10] . ${\ estilo de visualización n!/n\#}$

Véase también

Notas

↑ Dubner, 1987 , págs. 197–203.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 secuencia A002110 en OEIS .
↑ Secuencia OEIS A034386._ _ _
↑ Weisstein, Eric W. Chebyshev Funciones en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ A002182 - OEIS . Fecha de acceso: 5 de enero de 2016. Archivado desde el original el 24 de diciembre de 2015. (indefinido)
↑ Sobre números escasamente totientes . Fecha de acceso: 5 de enero de 2016. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ István Mezo. El Primorial y la función zeta de Riemann: [ ing. ] // El mensual matemático estadounidense. - 2013. - Vol. 120. - Pág. 321.
↑ composiciones . _ www.numbersaplenty.com. Consultado el 1 de febrero de 2018. Archivado desde el original el 24 de enero de 2018.
↑ Secuencia OEIS A036691 _
↑ Compositorial - OeisWiki . oeis.org. Consultado el 1 de febrero de 2018. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2018.

Literatura

Harvey Dubner. Primos factoriales y primoriales // Journal of Recreational Mathematics. - 1987. - vol. 19. - Pág. 197-203.