Flexágono

Flexagons (del inglés  to flex , lat.  flectere - doblar, doblar, doblar y griego ωνος - cuadrado) - modelos planos de tiras de papel que pueden doblarse y doblarse de cierta manera. Cuando se pliega el flexagon, las superficies que antes estaban ocultas en la estructura del flexagon se vuelven visibles y las superficies previamente visibles van hacia el interior.

Muchos flexágonos son cuadrados (tetraflexágonos) o hexagonales (hexaflexágonos). Sin embargo, existen flexágonos de otras formas, incluidas las rectangulares y anulares.

Para distinguir entre planos, números, letras, elementos de imagen se aplican a los sectores del flexágono, o simplemente se pintan en un color determinado.

Historia

El primer flexágono fue descubierto en 1939 por un estudiante inglés, Arthur Stone , que entonces estudiaba matemáticas en la Universidad de Princeton en Estados Unidos. El papel de tamaño carta era demasiado ancho para caber en la carpeta de tamaño A4 . Stone cortó los bordes del papel y comenzó a doblar varias formas de las tiras resultantes, una de las cuales resultó ser un trihexaflexágono [1] [2] .

Pronto se creó un "Comité Flexagon", que incluía, además de Stone, al estudiante graduado de matemáticas Brian Tuckerman , al estudiante graduado de física Richard Feynman y al profesor de matemáticas John W. Tukey [2] .

En 1940, Feynman y Tukey habían desarrollado la teoría de los flexágonos, sentando así las bases para todas las investigaciones posteriores. La teoría no se publicó en su totalidad, aunque partes de ella se redescubrieron posteriormente [2] . El ataque a Pearl Harbor suspendió el trabajo del Comité Flexagon, y la guerra pronto dispersó a sus cuatro fundadores en diferentes direcciones [3] .

Los flexágonos ganaron popularidad después de la aparición en la edición de diciembre de 1956 de Scientific American de la primera columna de Martin Gardner "Juegos matemáticos", dedicada a los hexaflexágonos [4] [5] .

Los Flexagons se han patentado repetidamente en forma de juguetes, pero no se han comercializado ampliamente [6] [7] .

Tipos de flexágonos

Las superficies de un flexágono pueden consistir en triángulos equiláteros o isósceles, cuadrados, pentágonos, etc. Un flexágono puede permitir que aparezca un cierto número de superficies; algunos de ellos pueden ser anómalos (es decir, incluir sectores con números diferentes). Un flexágono de una forma dada con un número dado de planos se puede hacer a partir de diferentes desarrollos. Además, incluso el mismo desenvolvimiento puede permitir diferentes opciones de plegado [3] [8] .

Nombres de flexágonos

Los nombres de muchos flexágonos se forman según el principio "prefijo (número de superficies) + prefijo (forma) +" flexágono "". Así, el primer prefijo indica cuántas superficies tiene el flexágono, que tarde o temprano pueden abrirse, y el segundo indica en cuántas partes se divide cada una de esas superficies. Por ejemplo, un tetratetraflexágono es un flexágono con cuatro superficies, cada una de las cuales consta de cuatro cuadrados; hexahexaflexágono: un flexágono con seis superficies, cada una de las cuales consta de seis triángulos; dodecahexaflexagon - un flexagon con doce superficies ("dodeca"), cada una de las cuales consta de seis sectores ("hexa"), etc. [9]

Sin embargo, no existe un sistema de nomenclatura generalmente aceptado para los flexágonos. Martin Gardner utilizó los términos "tetraflexágono" y "hexaflexágono" para designar flexágonos formados por cuadrados y triángulos, respectivamente, y las superficies de un tetraflexágono podían constar de cuatro o seis cuadrados [3] . En el libro Flexagons Inside Out , los flexágonos se designan por la forma de los sectores (cuadrado, pentagonal, etc.) [10] [11]

Posteriormente, los flexágonos con 8 y 12 sectores triangulares, respectivamente, comenzaron a llamarse octa- y dodecaflexágonos [8] . Si los sectores de las superficies del flexágono son triángulos regulares o isósceles, entonces, además de los hexaflexágonos, hay tetra-, penta-, hepta-, octaflexágonos triangulares [11] .

Las revistas "Science and Life" utilizaron principalmente el sistema de prefijos IUPAC [12] [13] [14] [15] .

Hexaflexágonos

Un hexaflexágono es un flexágono con forma de hexágono regular. Cada superficie de flexágono consta de seis sectores triangulares.

Hay muchos hexaflexágonos, que difieren en el número de superficies. Hexaflexágonos conocidos con tres, cuatro, cinco, seis, siete, nueve, doce, quince, cuarenta y ocho superficies; el número de planos está limitado únicamente por el hecho de que el papel tiene un grosor distinto de cero [9] [1] [3] [16] [17] .

El número de tipos de hexaflexágonos crece rápidamente con el aumento del número de sus superficies: hay 3 tipos de hexahexaflexágonos, 4 tipos de heptahexaflexágonos, 12 tipos de octahexaflexágonos, 27 tipos de ennahexaflexágonos y 82 tipos de decahexaflexágonos [3] [18] .

Trihexaflexágono

Fiel a su nombre, un trihexaflexágono es un flexágono hexagonal con tres superficies. Es el más simple de todos los hexaflexágonos (excluyendo unhexaflexágono y duohexaflexágono ). Es una tira de Möbius aplanada [1] [3] . Se puede enrollar un trihexaflexágono a partir de una tira de papel dividida en diez triángulos equiláteros [16] [1] . El trihexaflexágono se pliega utilizando el método de pellizco flexible [16] [1] [19] , con una rotación de 60° después de cada pliegue.

Hexahexaflexágono

Un hexahexaflexagon es un flexagon con seis superficies hexagonales. Se puede hacer un hexahexaflexágono a partir de una tira de 19 triángulos de largo [9] [19] [17] .

Tetraflexágonos

El tetraflexágono más simple (flexágono con superficies cuadradas) es el tritetraflexágono, que tiene tres superficies. Solo dos de las tres superficies son visibles en un momento dado.

Los hexatetraflexágonos y decatetraflexágonos más complejos se ensamblan a partir de un escariador en forma de cruz sin el uso de pegamento [12] . Los tetraflexágonos con 4 n  + 2 planos también se pueden hacer a partir de marcos cuadrados [3] .

Se pueden usar tiras de papel en zigzag para hacer tetratetraflexágonos y otros tetraflexágonos con varios planos divisibles por 4 [21] .

Anillos flexágonos

Un flexágono anular es un flexágono cuya superficie es un "anillo" de polígonos. El prefijo “circo” se puede usar para nombrar flexágonos de anillo, por ejemplo, pentacircodecaflexagon es un flexágono de anillo con cinco planos, cada uno de los cuales consta de diez polígonos (pentágonos) [22] ; trigemicircohexaflexagon - un flexagon con tres superficies, cada una de las cuales es un anillo ( circo ) de mitades ( hemi ) de hexágonos regulares ( hexa ) [14] .

El Camino Tuckerman

Una manera fácil de encontrar todas las superficies de un hexaflexágono, el paseo de Tuckerman , es sostener el flexágono en una esquina y abrir el modelo hasta que deje de abrirse, luego girar el flexágono 60° en el sentido de las agujas del reloj, sujetar la esquina adyacente y repetir que el mismo [19] [17] .

Al caminar por Tuckerman, los planos del hexahexaflexágono se abrirán en el orden: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (o en orden inverso), después de lo cual la secuencia se repetirá. Esta secuencia se llama el camino de Tuckerman [19] [17] .

Métodos de plegado ("flexiones")

Hexaflexágonos

El método de plegado hexaflexágono descrito anteriormente, que se utiliza para evitar todos los planos (trayectorias de Tuckerman), se denomina pellizco flexible [20] . Existen los siguientes métodos para plegar hexaflexágonos:

  • pinch flex [20] (realizar en hexaflexágonos con tres o más planos)
  • v-flex [23] [24] (realizar en hexaflexágonos con cuatro o más planos)
  • tuck flex [25] , "boat-hexahedron" [19] (realizar en hexaflexágonos con cuatro planos o más)

y otros [26]

Anomalías

Un plano de flexágono (un conjunto de sectores) con números diferentes se denomina plano anómalo , y un flexágono con un plano anómalo visible (en una posición anómala) se denomina flexágono anómalo [19] [17] [27] . La aparición de planos anómalos es posible en flexágonos de un orden suficientemente alto, por ejemplo, en hexahexaflexagon [19] , dodecahexaflexagon [27] . El hexaflexágono más simple, que permite la aparición de anomalías, es el tetrahexaflexágono [22] . Para lograr planos anómalos, se utilizan métodos de plegado distintos al pinch flex "estándar" [19] .

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Ciencia y Vida, 1970, No. 1
  2. ↑ 1 2 3 Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline La historia del Flexagon Archivado el 26 de mayo de 2011 en Wayback Machine .
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Martin Gardner, Acertijos matemáticos y diversión
  4. ↑ Colecciones de columnas de "Juegos matemáticos" de Martin Gardner Archivado el 29 de agosto de 2014 en Wayback Machine . laboratorios de los Muppets
  5. ↑ Gardner, Martín. Flexágonos  // Scientific American  . - Springer Nature , 1956. - Diciembre ( vol. 195 , no. 6 ). - pág. 162-168 . -doi : 10.1038 / cientificamerican1256-162 .
  6. ↑ Rogers, Russel E.; Andrea, Leonard DL Dispositivos de entretenimiento intercambiables y similares . Freepatentsonline.com (21 de abril de 1959). Consultado el 30 de julio de 2013. Archivado desde el original el 13 de agosto de 2013.
  7. ↑ Patentes . Consultado el 31 de julio de 2013. Archivado desde el original el 18 de julio de 2012.
  8. ↑ 12Scott Sherman . Nomenclatura y terminología de Flexagon . Archivado desde el original el 5 de enero de 2009.
  9. ↑ 1 2 3 Ciencia y Vida, 1970, No. 3
  10. ↑ Les Pook, Flexágonos al revés
  11. ↑ 12Scott Sherman . Triángulo Flexagon Bestiario . Archivado desde el original el 12 de junio de 2008.
  12. ↑ 1 2 Ciencia y Vida, 1975, No. 9
  13. ↑ Ciencia y Vida, 1992, No. 4
  14. ↑ 1 2 Ciencia y Vida, 1993, No. 11
  15. ↑ Ciencia y Vida, 1993, No. 12
  16. ↑ 123 Flexágonos . _ _ Mathematische Basteleien. Archivado desde el original el 9 de marzo de 2017.
  17. ↑ 1 2 3 4 5 Ciencia y Vida, 1970, No. 2
  18. ↑ Secuencia OEIS A000207 El número de hexaflexágonos de orden n+2
  19. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Ciencia y vida, 1977, núm. 2
  20. ↑ 1 2 3 Scott Sherman. El pellizco flexible . Archivado desde el original el 5 de enero de 2009.
  21. ↑ Ciencia y Vida, 1972, No. 3
  22. ↑ 1 2 Ciencia y Vida, 1977, No. 8
  23. ↑ Video Flexagon Portal v-flex Archivado el 6 de septiembre de 2013 en Wayback Machine .
  24. ↑ Scott Sherman. La flexión en V. Archivado desde el original el 23 de agosto de 2016.
  25. ↑ Scott Sherman. El Tuck Flex . Archivado desde el original el 23 de agosto de 2016.
  26. ↑ Scott Sherman. El triángulo Flexagon se flexiona . Archivado desde el original el 23 de agosto de 2016.
  27. ↑ 1 2 Kvant, 1992, Nº 10

Literatura

Libros

  • Martín Gardner . Acertijos matemáticos y entretenimiento = Acertijos matemáticos y diversiones / Per. Yu. A. Danilova , ed. Ya. A. Smorodinsky . - 2do. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  • Les pok. Flexágonos de adentro hacia afuera  . - Prensa de la Universidad de Cambridge. — 182p. — ISBN 0-521-81970-9 .
  • Les pok. Diversión seria con Flexagons: un compendio y una guía  . - Edición de 2009 (17 de agosto de 2009). — Springer. — 346 pág. — ISBN 978-90-481-2502-9 .

Artículos

  • A. A. Panov. Flexágonos, flexores, flexmans  // Kvant . - 1988. - Nº 7 . - S. 10-14 .
  • Yo Kan. Flexágonos anómalos  // Kvant. - 1992. - Nº 10 . - S. 57-59 .
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1970. - Nº 1 . - S. 124-125 . trihexaflexágono
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1970. - Nº 2 . - S. 68-69 . Hexahexaflexágono, camino de Tuckerman
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1970. - Nº 3 . - S. 154-155 . Otros hexaflexágonos
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1970. - Nº 8 . - art. 149 . Correspondencia con los lectores
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1972. - Nº 3 . - S. 142-143 . tetraflexágonos
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1972. - Nº 4 . - art. 107 . Tubo flexo de Stone
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1975. - Nº 7 . - S. 154-155 . Tubo flexo de Stone (continuación)
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1975. - Nº 9 . - S. 121-123 . Hexatetraflexagon, decatetraflexagon, prefijos IUPAC
  • I. Konstantinov. Senderos Flexagon  // Ciencia y vida . - 1977. - Nº 2 . - S. 92-96 , V. transferencia de túnel
  • Flexágonos  // Ciencia y vida . - 1977. - Nº 8 . - S. 98-99 . Modelos espaciales de diagramas de traslación. pentacircodecaflexágono
  • Yo Kan. Hemitetraflexágonos  // Ciencia y vida . - 1992. - Nº 4 . - S. 126-127 . Hemitetraflexágonos
  • Yo Kan. Hemitetra- y hemihexaflexágonos  // Ciencia y vida . - 1993. - Nº 11 . - S. 150-152 .
  • Yo Kan. Flexágonos triangulares  // Ciencia y vida . - 1993. - Nº 12 . - S. 42-43 .

Enlaces

  • Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline. Flexágonos  (inglés) (1962,2000,2003). — Artículos sobre flexágonos en formato PDF. Consultado el 30 de julio de 2013. Archivado desde el original el 13 de agosto de 2013.
  • Harold V. McIntosh. Mis experiencias  con Flexagon . — Contiene valiosa información histórica y teoría; el sitio del autor tiene varios documentos relacionados con flexagon enumerados en [1] . Consultado el 30 de julio de 2013. Archivado desde el original el 13 de agosto de 2013.
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