El número de Smith es un número compuesto de este tipo , cuya suma de dígitos (en algún sistema numérico , generalmente en decimal ) es igual a la suma de los dígitos de todos sus factores primos , teniendo en cuenta la multiplicidad. Entonces, un ejemplo de un número de Smith es 202 = 2 × 101, ya que 2 + 0 + 2 = 4 y 2 + 1 + 0 + 1 = 4 .
Los primeros cincuenta números de Smith son [1] :
4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121 , 166 , 202 , 265 , 274 , 319 , 346 , 355 , 378 , 382 , 391 , 438 , 454 , 483 , 517 , 2, 526 , 5 , 2 5 52 , 52 588 , 627 , 634 , 636 , 645 , 648 , 654 , 663 , 666 , 690 , 706 , 728 , 729 , 762 , 778 , 825 , 852 , 861 , 895 , 913 , 915 , 922 , 958 , 985 , 1086 . 1111 , 1165 , …En 1987 , el matemático estadounidense Wayne McDaniel demostró que existen infinitos números de Smith. El número de números de Smith menores que 10 n para n =1,2,… es [2] :
1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509, …El concepto de números de Smith fue introducido por Albert Wilansky de la Universidad de Lehigh en 1982 . Mirando su guía telefónica, el matemático notó que el número de teléfono de su yerno Harold Smith (493-7775) tenía la propiedad interesante de que la suma de sus dígitos era igual a la suma de los dígitos de todos sus factores primos. . El número 4 937 775 se descompone en factores primos de la siguiente manera: 4 937 775 = 3 × 5 × 5 × 65 837. La suma de los dígitos del número de teléfono es 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42 , y la suma de los dígitos en factores primos también es igual a 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42 . Wilanski nombró este tipo de número en honor a su cuñado. Dado que todos los números primos tienen esta propiedad, Wilanski no los incluyó en la definición.
El número de Smith más grande conocido (a partir de 2005 ) es
9 R 1031 (10 4594 +3 10 2297 +1) 1476 10 3913210 ,donde R 1031 = (10 1031 −1)/9 es una repetición .
Dos números naturales consecutivos que son números de Smith (como 728 y 729, 2964 y 2965) se llaman gemelos de Smith . Actualmente se desconoce si el número de gemelos Smith es infinito. Smith triples, cuádruples, etc. se definen de manera similar. Los elementos iniciales del n Smith más pequeño para n =1,2,… son [3] :
4, 728, 73,615, 4,463,535, 15,966,114, 2,050,918,644, 164,736,913,905, …Hay una infinidad de números de Smith cuya notación decimal representa un palíndromo (léase lo mismo de izquierda a derecha y de derecha a izquierda).