Pantalla exponencial

Mapeo exponencial - lejos[ aclarar ] una generalización continua de la función exponencial en la geometría de Riemann .

Para una variedad Riemanniana , el mapeo exponencial actúa desde el fibrado tangente a la variedad misma . $METRO$ $TM$ $METRO$

El mapeo exponencial generalmente se denota y su restricción al espacio tangente en un punto se denota y se llama mapeo exponencial en un punto . ${\ estilo de visualización \ exp \ dos puntos TM \ a M}$ $T_{p}M$ $p\en M$ $\exp _{p}\dos puntos T_{p}M\to M$ $pags$

Definición

Sea una variedad de Riemann y . Para cada vector , hay una salida geodésica única desde el punto (es decir ) tal que . $METRO$ $p\en M$ $v\en T_{p}M$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {v} (t)}$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {v} (0) = p}$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {v}' (0) = v}$

El mapeo exponencial de un vector es el punto , o . $v$ ${\ estilo de visualización \ gamma _ {v} (1) \ en M}$ ${\ estilo de visualización \ exp v = \ gamma _ {v} (1)}$

Propiedades

${\ estilo de visualización \ exp _ {p} (0) = p}$ .

Para cada punto existe un número tal que el mapeo exponencial se define para todos los vectores que satisfacen la condición . $p\en M$ $\varepsilon >0$ ${\ estilo de visualización \ exp _{p}}$ $v\en T_{p}M$ $|v|\leq\varepsilon$
- Además, es un difeomorfismo de alguna vecindad de cero en el espacio tangente a alguna vecindad de un punto en la variedad . Así, en una determinada vecindad de un punto múltiple , se define una aplicación exponencial inversa (llamada logaritmo y denotada por ), que actúa en una determinada vecindad del cero del espacio tangente . ${\ estilo de visualización \ exp _{p}}$ $T_{p}M$ $pags$ $METRO$ $pags$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ registro _ {p}}$ $T_{p}M$

En una variedad de Riemann métricamente completa , se define un mapa exponencial para cualquier vector tangente ( teorema de Hopf-Rinow ).

El diferencial del mapeo exponencial en cualquier punto es el operador lineal de identidad . Eso es $pags$ ${\ estilo de visualización (d_ {p} \ exp _ {p}) (v) = v}$

para cualquier Aquí identificamos el espacio tangente a sí mismo.

v\en T_{p}M

T_{p}M

( Lema de Gauss sobre geodésicas ) Para cualquier ${\ estilo de visualización x, v \ en T_ {p}}$ $g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,$

donde denota el diferencial del mapeo exponencial.

d_{x}\exp_{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp_{p}x}

Para grupos de Lie con una métrica bi-invariante, el mapeo exponencial coincide con el exponencial teórico de grupo habitual.

Enlaces

A. V. Chernavski . Conferencias sobre geometría diferencial clásica (CAPÍTULO 10)

Literatura

B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko geometría moderna. - Cualquier edición.
A. S. Mishchenko, A. T. Fomenko . Curso de geometría diferencial y topología. - Cualquier edición.
M. M. Postnikov . Teoría variacional de las geodésicas. - Cualquier edición.