Expositor

El exponente es una función exponencial , donde es el número de Euler . $f(x)=\exp(x)=e^{x}$ $e\aproximadamente 2{,}718$

Definición

La función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes. Por ejemplo, a través de la serie de Taylor :

e^{x}=1+\sum_{{n=1}}^{{\infty}}{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2! }+{x^{3} \sobre 3!}+{x^{4} \sobre 4!}+\cdots

o al otro lado del límite :

e^{x}=\lim_{{n\rightarrow \infty}}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

Aquí hay cualquier número complejo . $X$

Origen del concepto

La palabra expositor proviene del lat. " exponere", que se traduce como " poner adelante; mostrar ", que a su vez proviene del lat. prefijos " ex-" ("adelante") y lat. las palabras " ponere" ("poner, arreglar"); [1] El significado de usar tal palabra para el exponente es que el signo del exponente está "colocado fuera" de la línea habitual de escritura (ligeramente por encima y a la derecha del lugar donde normalmente se debe colocar la figura). $un ^ {x}$

Propiedades

$(e^{x})'=e^{x}$ , y en particular, la exponencial es la única solución de una ecuación diferencial con datos iniciales . Además, las soluciones generales de ecuaciones diferenciales homogéneas se expresan en términos de la exponencial . $y'=y$ $y(0)=1$
El exponente se define en todo el eje real. En él, el exponente crece en todas partes y es estrictamente mayor que cero.
El exponente es una función convexa .
La función inversa es el logaritmo natural . ${\ estilo de visualización (\ ln x)}$
La transformada de Fourier del exponente es una función generalizada , a saber, la función delta de Dirac .
La transformada de Laplace de la exponencial se define en el dominio . ${\ Displaystyle e^{hacha}}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} (x) <a}$
La derivada en cero es , por lo que la tangente al exponente en este punto pasa en un ángulo o . $una$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ ${\ frac {\ pi} {4}}$
La propiedad funcional principal del exponente, así como cualquier función exponencial: $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ .
- Una función continua con esta propiedad es idénticamente igual o tiene la forma , donde es alguna constante. ${\ estilo de visualización 0}$ $\exp(cx)$ $C$

$e^{x}=\nombre del operador {sh} x+\nombre del operador {ch} x$ , donde y son seno y coseno hiperbólicos . $\nombre del operador {sh}$ $\nombre del operador {ch}$

Exponente complejo

El exponente complejo es una función matemática dada por la relación , donde es un número complejo . El exponente complejo se define como la continuación analítica del exponente de una variable real : $f(z)=e^{z}$ $z$ $f(x)=e^{x}$ $X$

Definamos una expresión formal

e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}\cdot e^{{iy}}

La expresión así definida sobre el eje real coincidirá con el exponente real clásico. Para la completa corrección de la construcción, es necesario probar la analiticidad de la función , es decir, mostrar que se expande en alguna serie que converge a esta función. Vamos a mostrarlo: $e^{z}$ $e^{z}$

f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{{iy}}=e^{{iy}}\sum_{{n=0}}^{\infty}{\ fracción {x^{n}}{n!}}

La convergencia de esta serie se demuestra fácilmente:

\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}\right|\leq \left|\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac { x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{ |x|}

La serie converge absolutamente en todas partes , es decir, converge en todas partes en general, por lo tanto, la suma de esta serie en cada punto específico determinará el valor de la función analítica . De acuerdo con el teorema de unicidad , la extensión resultante será única, por lo tanto, en el plano complejo, la función está definida en todas partes y es analítica. $f(z)=e^{z}$ $e^{z}$

Propiedades

El exponente complejo es una función holomorfa entera en todo el plano complejo . En ningún momento desaparece.
$e^{z}$ es una función periódica con el período principal 2 π i : . En virtud de la periodicidad, el exponente complejo tiene láminas infinitas . Como su región de univalencia , puede elegir cualquier franja horizontal con una altura de . $e^{{i\varphi}}=e^{{i(\varphi +2\pi)}}$ $2\pi$
$e^{z}$ - la única función hasta un factor constante, cuya derivada (y, en consecuencia, antiderivada ) coincide con la función original.
Algebraicamente, el exponente de un argumento complejo se puede definir de la siguiente manera: $z=x+iy$ $e^{z}=e^{{x+iy}}=e^{x}e^{{iy}}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ ( Fórmula de Euler ).
- En particular, la identidad de Euler tiene : $e^{i\pi}+1=0.$

Variaciones y generalizaciones

De manera similar, el exponente se define para un elemento de un álgebra asociativa arbitraria . En un caso particular, también se requiere prueba de que estos límites existen.

Exponente de la matriz

El exponente de una matriz cuadrada (o un operador lineal ) se puede definir formalmente sustituyendo la matriz en la serie adecuada:

\exp A=\sum_{{k=0}}^{{\infty}}{\frac {A^{k}}{k!}}.

La serie así definida converge para cualquier operador con norma acotada, ya que está dominada por una serie para el exponente de la norma , por tanto, el exponente de una matriz siempre está definido y es él mismo una matriz. $A$ ${\ estilo de visualización A \ dos puntos}$ $\exp\|A\|.$ $A\en \mathbb {R} ^{n\times n}$

Usando el exponente matricial, es fácil especificar la forma de la solución de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes : la ecuación con la condición inicial tiene su solución ${\dot x}=Ax,~~~x\in {\mathbb R}^{n}$ $x(0)=x_{0}$ $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

exponente h

La introducción del exponente se basa en el segundo límite notable : $h$

e_{{h}}(x)=(1+h)^{{\frac {x}{h}}}.

En , se obtiene el exponente habitual [2] . $h \ a 0$

Función inversa

La función inversa a la función exponencial es el logaritmo natural . designado : $\ln x$

\ln x=\log _{{e}}x.

Véase también

Notas

Literatura

Lavrent'ev M. A., Shabat B. V. Métodos de la teoría de funciones de una variable compleja. - 5ª edición, revisada. — M.: Nauka, 1987. — 688 p.
Khaplanov M. G. Teoría de la función de una variable compleja (curso corto). - 2ª edición, revisada. - M .: Educación, 1965. - 209 p.

Enlaces

Una guía intuitiva de funciones exponenciales & e | Mejor explicado _