Red épsilon

Una red ε ( red épsilon , conjunto denso ε ) para un subconjunto de un espacio métrico es un conjuntodel mismo espaciotal que para cualquier puntohay un puntoqueestá a lo sumo ε alejado de . $METRO$ $X$ $Z$ $X$ $x\en M$ $z\en Z$ $X$

Definiciones relacionadas

Un espacio métrico en el que existe una red finita para cada uno se llama completamente acotado . $\varepsilon> 0$ $\varepsilon$

Se dice que una métrica en un conjunto está completamente acotada si es un espacio métrico completamente acotado. $\rho$ $X$ $(X,\rho)$

Una familia de espacios métricos tal que para cualquiera exista un número natural tal que cada espacio admita una red de en la mayoría de los puntos se denomina universalmente completamente acotada . ${\ estilo de visualización (X_ {\ alfa}, \ rho _ {\ alfa})}$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ ${\ estilo de visualización (X_ {\ alfa}, \ rho _ {\ alfa})}$ $\varepsilon> 0$ $N_\varepsilon$
- Para tales familias, se cumple un análogo del teorema de compacidad de Gromov .

Un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico totalmente acotado se denomina métrica metrizable totalmente acotada .

Ejemplos

Para la métrica estándar, el conjunto de números racionales es una red ε para el conjunto de números reales para cualquier ε > 0 .
El conjunto de enteros es una red ε para el conjunto de números reales para $\varepsilon\ge 0{,}5$

Propiedades

Un espacio métrico tiene una métrica totalmente acotada equivalente si y sólo si es separable .
Un espacio topológico es metrizable por una métrica totalmente acotada si y sólo si es regular y satisface el segundo axioma de contabilidad .
Un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y completamente acotado. En una formulación un poco más general, el teorema de compacidad de Hausdorff establece que para que un subconjunto de un espacio métrico sea relativamente compacto , es necesario, y si el espacio es completo , es suficiente que para cualquiera exista una red finita de elementos ε del conjunto $METRO$ $X$ $X$ $\varepsilon > 0$ $METRO$

Prueba

Necesitar

Sea el conjunto (relativamente) compacto. Arreglamos y consideramos cualquier elemento . Si para any , entonces ya se ha construido una red ε finita de un elemento. De lo contrario, hay un elemento tal que . Hay otras dos posibilidades. Ya sea para cualquiera al menos uno de los números o es menor que , y entonces ya se ha construido la red finita ε de dos elementos, o hay un elemento tal que , , y así sucesivamente. Demostremos que el proceso de construcción de puntos terminará después de un número finito de pasos, lo que significa que se construirá una red ε finita . Si este no fuera el caso, entonces obtendríamos una secuencia para la cual en . Pero entonces ni la secuencia en sí ni ninguna de sus subsecuencias pueden converger, lo que contradice la compacidad del conjunto . Entonces, para un conjunto compacto, hemos construido una red ε finita cuyos puntos pertenecen al conjunto mismo. $METRO$ $\varepsilon > 0$ $x_{1} \en M$ $\rho(x, x_{1}) < \varepsilon$ $x \en M$ $x_{2} \en M$ $\rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $x \en M$ $\rho(x, x_{1})$ $\rho(x, x_{2})$ $\varepsilon$ $x_{3} \en M$ $\rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $\rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon$ $x_{1}, x_{2}, \ldots$ $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots$ $\rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon$ $yo \ neq j$ $\{x_{n} \},$ $METRO$ $METRO$

Adecuación

Supongamos que para cualquier existe un ε -net para el conjunto . Tomemos una secuencia numérica , donde para y para cada uno construimos una red . Considere una secuencia arbitraria . Como hay un -net para , cualquiera que sea el elemento , lo tendremos para al menos un elemento . Por tanto, cualquier elemento cae en al menos una bola , es decir, todo el conjunto , y más aún toda la secuencia , se ubicará en estas bolas. Como hay un número finito de bolas y la secuencia es infinita, hay al menos una bola que contendrá una subsecuencia infinita de nuestra secuencia. Este razonamiento se puede repetir para . Hagamos una subsecuencia diagonal . Demostremos que esta sucesión converge en sí misma. Como y for están incluidos en la -ésima subsecuencia, y la -ésima subsecuencia está contenida en la bola , entonces for . Por supuesto, el espacio está lleno. Por tanto, de la convergencia en sí misma de la sucesión se sigue su convergencia hasta cierto límite, y esto prueba la posibilidad de seleccionar una subsucesión convergente de cualquier sucesión, es decir, la compacidad (relativa) del conjunto [1] $\varepsilon > 0$ $METRO$ $\mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g}$ $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ $n \rightarrow \infty$ $norte$ $\varepsilon_{n}$ $N_{n} = \{ z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \ldots, z_{m_{n}}^{(n)} \}$ $\{x_{n} \} \in M$ $N_{1}$ $\varepsilon_{1}$ $METRO$ $x \en M$ $\rho(x, z_{i}^{(1)}) < \varepsilon_{1}$ $z_{i}^{(1)} \en N_{1}$ $x \en M$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}), i=1, 2, \ldots, m_{1}$ $METRO$ $\{x_{n} \}$ $\{x_{n} \}$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1})$ $\{x_{n}^{(1)} \}$ $N_{m}, m = 2, 3, \ldots$ $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(k)}, \ldots$ $x_{k}^{(k)}$ $x_{k+p}^{(k+p)}$ $p>0$ $k$ $k$ $S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k})$ $\rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0$ $k \rightarrow \infty$ $X$ $\{x_{k}^{(k)} \}$ $\{x_{n} \}$ $METRO.$

Un espacio métrico completo es compacto si y sólo si para cualquiera de ellos existe un ε -net compacto. $\varepsilon> 0$

Notas

↑ Sobolev VI Conferencias sobre capítulos adicionales de análisis matemático. - M.: Nauka, 1968 - pág.59.

Literatura

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Curso de geometría métrica. Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004, 512 págs. ISBN 5-93972-300-4 .
Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.