Autorregresión vectorial

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La autorregresión vectorial ( VAR, Vector AutoRegression ) es un modelo dinámico de series temporales múltiples en el que los valores actuales de estas series dependen de los valores pasados de la misma serie temporal. El modelo fue propuesto por Christopher Sims como una alternativa a los sistemas de ecuaciones simultáneas , que implican importantes limitaciones teóricas. Los modelos VAR están libres de las restricciones de los modelos estructurales. Sin embargo, el problema de los modelos VAR es el fuerte aumento en el número de parámetros con un aumento en el número de series temporales analizadas y el número de rezagos.

Presentación formal

De hecho, VAR es un sistema de ecuaciones econométricas, cada una de las cuales es un modelo autorregresivo y rezagado distribuido (ADL). Sea la -ésima serie de tiempo. El modelo ADL(p,p) para la serie de tiempo -ésima se verá como $y^{i},i=1,\ldots,k$ $i$ $i$

$y_{t}^{i}=a_{0}^{i}+\sum_{{j=1}}^{{k}}a_{{1j}}^{i}y_{{t-1 }}^{j}+\sum_{{j=1}}^{{k}}a_{{2j}}^{i}y_{{t-2}}^{j}+\ldots +\ suma _{{j=1}}^{{k}}a_{{pj}}^{i}y_{{tp}}^{j}+\varepsilon_{{t}}^{i}.$

Sin embargo, más conveniente y compacta es la notación de matriz vectorial del modelo. Para ello, se introduce un vector de series temporales . Entonces, las ecuaciones anteriores para cada serie de tiempo se pueden escribir como una sola ecuación en forma de vector: $y_{t}=(y_{t}^{1},y_{t}^{2},\ldots,y_{t}^{k})$

$y_{t}=a_{0}+A_{1}y_{{t-1}}+A_{2}y_{{t-2}}+\ldots +A_{p}y_{{tp}}+ \varepsilon _{t}=a_{0}+\sum _{{m=1}}^{p}A_{m}y_{{tm}}+\varepsilon _{t},$

donde son matrices de elementos . $Soy}$ $a_{{mj}}^{yo}$

Este es el modelo de autorregresión vectorial de orden p - VAR(p) .

El modelo presentado es cerrado , en el sentido de que solo los rezagos de las variables endógenas (explicadas) actúan como variables explicativas. Sin embargo, nada impide que el modelo se complemente con algunas variables exógenas y sus rezagos, por ejemplo, hasta del orden de q. Tal modelo se llama abierto . En forma matricial, se puede representar de la siguiente manera:

$y_{t}=a_{0}+\sum_{{m=1}}^{p}A_{m}y_{{tm}}+\sum_{{n=0}}^{q}B_ {n}x_{{tn}}+\varepsilon _{t}.$

Representación del operador

Los modelos de autorregresión vectorial en forma de operador que usan el operador de retraso tienen una forma aún más simple : $L\colon x_{t}\mapsto x_{{t-1}}$

$A(L)y_{t}=a_{0}+B(L)x_{t}+\varepsilon _{t},~A(L)=I-\sum_{m=1}}^{ p}A_{m}L^{m},~B(L)=\sum _{{n=0}}^{q}B_{n}L^{n}.$

Si las raíces del polinomio característico se encuentran fuera del círculo unitario (en el plano complejo ), entonces dicho proceso de autorregresión vectorial es estable (un análogo del concepto de estacionariedad de los modelos autorregresivos únicos). Si se cumple la condición de estabilidad, la siguiente representación de modelos VAR es aceptable: ${\ estilo de visualización {\ rm {det}} (A (z))}$

$y_{t}=A^{{-1}}(L)a_{0}+A^{{-1}}(L)B(L)x_{t}+A^{{-1}}( L)\varepsilon _{t}=y_{t}=A^{{-1}}(1)a_{0}+C(L)x_{t}+u_{t}.$

El polinomio matricial C(L) en esta representación se llama función de transferencia . Se puede obtener una relación a largo plazo entre las variables endógenas y exógenas sustituyendo una unidad en lugar del operador de rezago en esta representación:

$y_{t}^{*}=A^{{-1}}(1)a_{0}+A^{{-1}}(1)B(1)x_{t}^{*}=A ^{{-1}}(1)a_{0}+C(1)x_{t}^{*}.$

La matriz C(1) se llama matriz de multiplicadores a largo plazo . Los modelos VAR también permiten una representación ECM, a veces denominada modelo de corrección de errores de vector (VEC).

VAR, VEC y cointegración

Consideremos esta relación en el ejemplo del modelo VAR(1) más simple

$y_{t}=Ay_{{t-1}}+\varepsilon _{t}.$

Sea C la matriz de vectores propios de la matriz A. Sea . Entonces el modelo original tiene la forma $x_{t}=C^{{-1}}y_{t}~\Flecha derecha y_{t}=Cx_{t}$

$Cx_{t}=ACx_{{t-1}}+\varepsilon _{t}~\Rightarrow x_{t}=C^{{-1}}ACx_{{t-1}}+C^{{- 1}}\varepsilon _{t}.$

Considerando que C es la matriz de autovectores de la matriz A, obtenemos que es una matriz diagonal de autovalores de la matriz A. Es decir, tal transformación permitió obtener un conjunto de modelos AR (1): $C^{{-1}}AC=\Lambda$

$x_{t}^{i}=\lambda _{i}x_{{t-1}}^{i}+u_{{t}}^{i}.$

La condición de estacionariedad para los procesos AR(1) es conocida y muy simple: el módulo del coeficiente de autorregresión debe ser menor que 1. Si se cumplen las condiciones de estacionariedad para al menos una de estas ecuaciones (es decir, la matriz A tiene al menos una de sus autovalores módulo menor que 1), entonces obtenemos que existe una combinación lineal estacionaria de la serie temporal original. Si las series originales son series I(1) no estacionarias, es decir, integradas de primer orden, entonces esto significa que la serie temporal original estará cointegrada . El número de dichos valores propios es igual al rango de cointegración. Si el rango de cointegración es igual al número de variables, entonces las series de tiempo originales son estacionarias (no contienen raíces unitarias) y puede construir un modelo VAR convencional.

Si la serie temporal es estacionaria, puede construir el VAR habitual. Si están integrados, pero no hay cointegración, entonces se construye un VAR para las diferencias del orden correspondiente. Si hay cointegración, entonces se construye un modelo de corrección de errores (VECM).

Métodos de valoración

Véase también

Literatura

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometría. Curso inicial. - M. : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
V.P. de Nosko Econometría. Introducción al análisis de regresión de series temporales . - M. , 2002. - 273 p.