Axiomas de separabilidad

Los axiomas de separabilidad son conjuntos de requisitos adicionales impuestos a los espacios topológicos , que permiten el estudio de clases limitadas de espacios topológicos con propiedades más o menos cercanas a los espacios métricos . La aplicación de una técnica de prueba matemática como el principio de separabilidad se basa en la suposición del cumplimiento de los axiomas de separabilidad .

Se introduce un conjunto de axiomas de separabilidad, los más utilizados son seis, denotados respectivamente por T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 3½ , T 4 (del alemán Trennungsaxiom ); además, a veces se utilizan otros axiomas y sus variaciones (R 0 , R 1 , T 2½ , T 5 , T 6 y otros).

T 0 ( axioma de Kolmogorov ): para cualesquiera dos puntos distintos y al menos un punto debe tener una vecindad que no contenga al segundo punto. $X$ $y$

T 1 ( axioma de Tikhonov ): para cualesquiera dos puntos diferentes y debe existir una vecindad del punto que no contenga al punto y una vecindad del punto que no contenga al punto . Condición equivalente: todos los conjuntos de un punto son cerrados. $X$ $y$ $X$ $y$ $y$ $X$

T 2 ( axioma de Hausdorff , espacio de Hausdorff ): para cualesquiera dos puntos distintos y debe haber vecindades que no se intersecten y . $X$ $y$ $u(x)$ $V(y)$

T 3 : Para cualquier conjunto cerrado y un punto no contenido en él, existen sus vecindades que no se cortan [1] [2] . Condición equivalente: para cualquier punto y su vecindad existe una vecindad tal que . A veces, la definición del axioma de separabilidad T 3 incluye los requisitos del axioma de separabilidad T 1 . [3] [4] También a veces el requisito del axioma T 1 [2] [4] no está incluido en la definición de un espacio regular . Un espacio regular es un espacio que satisface los axiomas T 1 y T 3 . $X$ $tu$ $V$ $x\in V\subconjunto\bar{V}\subconjunto U$

T 3½ : para todo conjunto cerrado y un punto no contenido en él, existe una función numérica continua (en la topología dada) , dada sobre este espacio, tomando valores de a sobre todo el espacio, y para todo , perteneciente a . Los espacios que satisfacen los axiomas T 1 y T 31 se denominan espacios completamente regulares o espacios de Tikhonov; además, a veces el cumplimiento de T 1 se incluye en la definición de T 31 [5] , pero en la definición de un espacio completamente regular no incluye el requisito del axioma T 1 (entonces se incluye en la definición de un Espacio Tikhonov [2] . $F$ $a$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $una$ $f(a)=0$ $f(x)=1$ $X$ $F$

T 4 : para cualesquiera dos conjuntos disjuntos cerrados existen sus vecindades disjuntas [1] [2] . Una condición equivalente: para todo conjunto cerrado y su entorno , existe un entorno tal que ( es una clausura de ). Espacio normal : espacios que satisfacen T 1 y T 4 [2] [6] . A veces, la definición de T 4 incluye el requisito de que se cumpla T 1 [7] [8] , pero la definición de un espacio normal no incluye el requisito de T 1 [8] . $F$ $tu$ $V$ $F\subconjunto V\subconjunto\bar{V}\subconjunto U$ ${\bar {V}}$ $V$

Algunas relaciones de los axiomas de separabilidad y clases relacionadas entre sí:

$T_{0}$ , y no se siguen del resto de los axiomas (si su definición no incluye el axioma ); $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$
de sigue ; $T_{1}$ $T_{0}$
los espacios regulares son Hausdorff;
los espacios completamente regulares son regulares;
los espacios normales también son completamente regulares;
Los espacios compactos de Hausdorff son normales.

Notas

↑ 1 2 Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, p.105
↑ 1 2 3 4 5 enciclopedia matemática
↑ Engelking, p.71
↑ 1 2 Kelly, p.154
↑ Engelking, p.73
↑ Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, p.106
↑ Engelking, p.74
↑ 1 2 Kelly, p.153

Literatura

O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, V. M. Kharlamov y N. Yu. Netsvetaev Libro de texto de problemas sobre topología
Engelking R. Topología general: Per. De inglés. — M .: Mir, 1986. — 752 p.
Kelly, J. L. Topología general. — M.: Nauka, 1968.
I. M. Vinogradov. Axioma de separabilidad // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso) - artículo de la enciclopedia matemática, autor - V. I. Zaitsev