Espacio completamente regular

Un espacio completamente regular o espacio de Tikhonov  es un espacio topológico que satisface los axiomas de separación T 1 y T 3½ , es decir, un espacio topológico en el que todos los conjuntos de un punto son cerrados y para cualquier conjunto cerrado y un punto fuera de él existe una función numérica continua igual a uno en el conjunto y cero en un punto ( A. N. Tikhonov , 1930).

Propiedades

• Todo espacio de Tikhonov es regular .
• Un subespacio de un espacio de Tikhonov es un espacio de Tikhonov.
• El producto de cualquier número de espacios de Tikhonov es un espacio de Tikhonov.
• Un espacio topológico es el espacio de Tikhonov si y solo si es homeomorfo a un subespacio de un cubo de Tikhonov de algún peso .
• Un espacio topológico es Tychonoff si y sólo si tiene una compactación de Hausdorff .
• Una topología en un espacio es Tychonoff si y sólo si es generada por alguna uniformidad separable .
• Todo espacio vectorial topológico es completamente regular .

Ejemplos

Los espacios de Tychonoff son:

• Espacios normales , en particular espacios métricos
• Espacios de Hausdorff localmente compactos
• Grupos topológicos que satisfacen el axioma de separación T 0 , en particular espacios vectoriales topológicos
• Espacios ordinales con topología de orden
• El plano de Nemytsky  es un ejemplo de un espacio de Tikhonov que no es normal

Literatura

• Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.
• Bogachev VI, Smolyanov O.G. , Sobolev V. I. Espacios vectoriales topológicos y sus aplicaciones.