Álgebra Valya

El álgebra de Val (o álgebra de Valentina ) es un álgebra no asociativa M sobre el campo F , en la que la operación multiplicativa binaria obedece a los siguientes axiomas:

1. Condición de antisimetría :

g(A,B)=-g(B,A)

para todos ${\ estilo de visualización A, B \ en M}$

2. Identidad de San Valentín:

J(g(A_{1},A_{2}),g(A_{3},A_{4}),g(A_{5},A_{6))=0

para todo , donde k=1,2,…,6, y $A_{k}\en M$

$J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).$

3. Condición de bilinealidad:

g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)

para todos y . ${\ estilo de visualización A, B, C \ en M}$ $a,b\en F$

Podemos decir que M es un álgebra de Valentina si el subgrupo derivado de esta álgebra es una subálgebra de Lie. Cualquier álgebra de Lie es un álgebra de Valentina.

La operación multiplicativa bilineal en el álgebra de Valentina, al igual que en el álgebra de Lie, no es una operación asociativa .

Existe la siguiente relación entre el álgebra conmutativa-asociativa y el álgebra de Wahl. Reemplazando la multiplicación g(A,B) en el álgebra M con la operación de conmutación [A,B]=g(A,B)-g(B,A), se convierte en un álgebra . Además, si M es un álgebra conmutativa-asociativa, entonces será un álgebra de Wahl. El álgebra de Wahl es una generalización del álgebra de Lie , que es un ejemplo especial del álgebra de Valentina. $M^{(-)}$ $M^{(-)}$

Las álgebras de Wahl se pueden utilizar para describir sistemas cuánticos disipativos y no hamiltonianos.

Ejemplos de álgebra de Valentina

(1) Cualquier álgebra de Wahl finita es un álgebra tangente de bucles asociativos conmutativos locales analíticos (bucles de Wahl), al igual que las álgebras de Lie finitas son álgebras tangentes de grupos locales analíticos (grupos de Lie ). Esta afirmación es análoga a la correspondencia entre grupos locales analíticos (grupos de Lie ) y álgebras de Lie .

(2) Operación bilineal para formas diferenciales de 1

{\displaystyle \alpha =F_{k}(x)\,dx^{k},\quad \beta =G_{k}(x)\,dx^{k))

en una variedad simpléctica , definida por la regla

(\alpha,\beta)_{0}=d\Psi (\alpha,\beta)+\Psi (d\alpha,\beta)+\Psi (\alpha,d\beta),

donde está la forma 1. Esta operación bilineal en el conjunto de formas 1 no cerradas define un álgebra de Lie. ${\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta)}$

Si y son formas 1 cerradas, entonces y $\alfa$ $\beta$ ${\ estilo de visualización d \ alfa = d \ beta = 0}$

{\ estilo de visualización (\ alfa, \ beta) = d \ Psi (\ alfa, \ beta).}

Esta operación bilineal en el conjunto de 1-formas cerradas define un álgebra de Lie.

Esta operación bilineal en el conjunto de formas 1 diferenciales no cerradas no define un álgebra de Lie, sino un álgebra de Valentina, que no es un álgebra de Lie .

Véase también

Literatura

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Schafer, R.D. Introducción a las álgebras no asociativas . - Nueva York: Publicaciones de Dover , 1995. - ISBN 0-486-68813-5 .
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