Secuencia de alícuotas
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 3 de octubre de 2019; la verificación requiere 1 edición .En matemáticas , una secuencia alícuota es una secuencia recursiva en la que cada término es la suma de los divisores propios del término anterior. Una secuencia alícuota que comienza con algún número entero positivo k se puede definir formalmente en términos de la función de suma de divisores σ 1 de la siguiente manera [1] :
s 0 = k s norte = σ 1 ( s norte -1 ) - s norte -1 .Por ejemplo, la secuencia alícuota para el número 10 es 10, 8, 7, 1, 0 porque:
σ 1 (10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8 σ 1 (8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7 σ 1 (7) − 7 = 1 σ 1 (1) − 1 = 0Muchas secuencias alícuotas terminan en cero (secuencia A080907 en la OEIS ), y todas esas secuencias terminan en un número primo seguido de uno (porque el único divisor propio de un número primo es uno) y un cero (porque uno no tiene divisores intrínsecos). ). También hay varios casos en los que la secuencia alícuota es infinita:
- Un número perfecto tiene una secuencia alícuota repetitiva con un período de 1. Una secuencia alícuota de seis, por ejemplo, es 6, 6, 6, 6, ...
- Los números amigos tienen una secuencia alícuota repetitiva con un período de 2. Por ejemplo, la secuencia alícuota del número 220 es 220, 284, 220, 284, ...
- Los números complementarios tienen una secuencia alícuota repetitiva con cualquier punto. Por ejemplo, una secuencia alícuota del número 1264460 es 1264460 , 1547860 , 1727636 , 1305184 , 1264460 , ...
- Algunos números dan una secuencia alícuota, desde algún lugar se convierten en una secuencia con un cierto período, sin ser ni perfectos, ni amigables, ni sociables. Por ejemplo, una secuencia alícuota para el número 95 es 95, 25, 6, 6, 6, 6, ... . Los números como el 95 que no son perfectos, pero dan una secuencia que va de algún lugar a una secuencia con período 1, se llaman convergentes ( A063769 ).
Longitudes de secuencias alícuotas que comienzan con n :
1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (secuencia A044050 en OEIS ).Último elemento de secuencias alícuotas (sin incluir 1) que comienzan con n :
1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (secuencia A115350 en OEIS ).Números cuyas secuencias alícuotas terminan en 1:
1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (secuencia A080907 en OEIS ).Números cuyas secuencias alícuotas terminan en un número perfecto :
25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913,... (secuencia A063769 en OEIS ).Números cuyas secuencias alícuotas terminan con un ciclo de longitud 2:
220 284 562 1064 1184 1188 1210 1308 1336 1380 1420 1490 1604 1690 1692 1772 1816 1898 2008 2122 2152 secuencia A121507 en OEIS ).Números para los que no se sabe si sus secuencias alícuotas son finitas o periódicas:
276 306 396 552 564 660 696 780 828 888 966 996 1074 1086 1098 1104 1134 1218 1302 1314 1320 1338 135.0 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (secuencia A131884 en OEIS ).Una conjetura importante con respecto a las secuencias alícuotas, debida al catalán , es la suposición de que cualquier secuencia alícuota termina en una de las formas enumeradas: un número primo, un número perfecto, un conjunto de números amigos o un conjunto de números acompañantes [2] . De lo contrario, deben existir números cuya secuencia alícuota sea infinita y aperiódica . Cualquiera de los números mencionados anteriormente, para los cuales la secuencia de alícuotas no está completamente determinada, puede ser tal número. Los primeros cinco candidatos son llamados los cinco de Lehmer (por el matemático estadounidense Dick Lehmer ): 276 , 552, 564, 660 y 966 [3] .
Para diciembre de 2013, hay 898 números enteros positivos conocidos menores de 100 000 para los cuales no se ha establecido una secuencia alícuota, y 9205 de esos números menores de 1 000 000 [4] .
Propiedades
Una secuencia alícuota conserva su paridad durante mucho tiempo [5] [6] . El cambio de paridad ocurre en los miembros de la especie y
Notas
- ↑ Weisstein, Eric W. Aliquot Sequence en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- ↑ Weisstein, Eric W. Catalan's Aliquot Sequence Conjecture en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- ↑ Lehmer Five (W. Creyaufmüller)
- ↑ Páginas alícuotas (W. Creyaufmüller)
- ↑ Richard K. Guy y JL Selfridge. ¿Qué impulsa una secuencia alícuota? (ing.) // Matemáticas de Computación : diario. - 1975. - vol. 29 , núm. 129 . - P. 101-107 .
- ↑ Wieb Bosma. Secuencias alícuotas con valores iniciales pequeños .
Literatura
- Manuel Benito, Wolfgang Creyaufmüller, Juan Luis Varona, Paul Zimmermann. La secuencia de alícuotas 3630 termina después de alcanzar los 100 dígitos // Matemáticas experimentales. - Natick, MA ,, 2002. - T. 11 , no. 2 . - S. 201-206 . Archivado desde el original el 15 de octubre de 2004.
- W. Creyaufmüller. Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich 1 bis 3000 im Detail. — 3er. - Stuttgart, 2000. - Pág. 327.
Enlaces
- Tablas de Ciclos de Alícuotas (JOM Pedersen)
- Página de alícuotas (Wolfgang Creyaufmüller)
- Secuencias alícuotas (Christophe Clavier)
- Foro sobre cálculo de secuencias alícuotas (MersenneForum)
- Página de resumen de secuencias alícuotas para secuencias de hasta 100000 (hay páginas similares para rangos más altos) (Karsten Bonath)
- Sitio de investigación activo sobre secuencias alícuotas (Jean-Luc Garambois)
- Estado actual de las secuencias alícuotas con plazo de inicio inferior a 3 millones (Dubslow)