Números amistosos

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Los números amigos son dos números naturales diferentes para los cuales la suma de todos los divisores propios del primer número es igual al segundo número y viceversa, la suma de todos los divisores propios del segundo número es igual al primer número. Es decir, un par de números naturales se llama amigo si: $M, N$

m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{k}=N,

n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{l}=M,

donde están los divisores del número , son los divisores del número . ${\displaystyle m_{1},m_{2},...m_{k))$ $METRO$ ${\ estilo de visualización n_{1},n_{2},...n_{l))$ $norte$

Estos pares no son de gran importancia para la teoría de números , pero son un elemento curioso de las matemáticas entretenidas .

A veces, los números perfectos se consideran un caso especial de números amigos : todo número perfecto es amigo de sí mismo.

Si tenemos en cuenta todos los divisores, obtenemos: u otra definición de números amigos, equivalente a esta. Dos números se llaman par amistoso si tienen la misma suma de todos sus divisores, que es igual a la suma de esos números. ${\ estilo de visualización \ sigma (M) -M = N}$ ${\ estilo de visualización \ sigma (M) = M + N = \ sigma (N)}$

Del mismo modo, tres números forman una terna amigable si tienen la misma suma de todos sus divisores, que es igual a la suma de esos números. . ${\ estilo de visualización \ sigma (M) = \ sigma (N) = \ sigma (K) = M + N + K}$

Historia

Los números amigos fueron descubiertos por los seguidores de Pitágoras ; sin embargo, lograron encontrar solo un par de números amigables: 220 y 284.

Lista de divisores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 - su suma es 284.
Lista de divisores para 284: 1, 2, 4, 71 y 142 - y la suma es 220.

Alrededor de 850, el astrónomo y matemático árabe Thabit ibn Qurra propuso una fórmula para encontrar algunos pares de números amigos. Su fórmula hizo posible encontrar dos nuevos pares de números amigos:

17296 y 18416 ;
9 363 584 y 9 437 056 .

En el siglo XVIII, Euler encontró un criterio suficiente para construir pares de números amigos, y ya había 90 pares en su lista. Es cierto que este criterio no cubre todos los pares: por ejemplo, Euler no notó el par (1184, 1210), ya se descubrió en el siglo XIX. En el siglo XX, las computadoras ayudaron a encontrar decenas de millones de pares. Pero todavía no existe una forma general efectiva de encontrar todos esos pares.

Primeras parejas

Los pares de números amigos forman la secuencia A063990 en OEIS , y los números que son más pequeños en su par amigo se recogen en la secuencia A002025 , y los más grandes son A002046 . Las sumas de los números en cada par forman la secuencia A180164 . Cabe señalar que todas esas sumas, los términos donde son pares, hasta (la suma y ) son divisibles por . Las sumas no divisibles por están en A291550 . $1362660800=2^{6}\cdot 5^{2}\cdot 31\cdot 83\cdot 331$ ${\ estilo de visualización 666030256}$ ${\ estilo de visualización 696630544}$ $9$ $9$

220 y 284 ( Pitágoras , alrededor del 500 a. C.)
1184 y 1210 (Paganini, 1866 )
2620 y 2924 ( Euler , 1747 )
5020 y 5564 ( Euler , 1747 )
6232 y 6368 ( Euler , 1750 )
10.744 y 10.856 ( Euler 1747 )
12.285 y 14.595 (Brown 1939 )
17296 y 18416 ( Ibn al-Banna , hacia 1300 ; Farisi , hacia 1300 ; Ferma , 1636 )
63 020 y 76 084 ( Euler , 1747 )
66928 y 66992 ( Euler 1750 )
67 095 y 71 145 ( Euler , 1747 )
69 615 y 87 633 ( Euler , 1747 )
79 750 y 88 730 (Rolf, 1964 )
100 485 y 124 155
122 265 y 139 815
122 368 y 123 152
141 664 y 153 176
142 310 y 168 730
171 856 y 176 336
176 272 y 180 848
185 368 y 203 432
196 724 y 202 444
280 540 y 365 084
308 620 y 389 924
319 550 y 430 402
356 408 y 399 592
437 456 y 455 344
469 028 y 486 178
503 056 y 514 736
522 405 y 525 915
600 392 y 669 688
609 928 y 686 072
624 184 y 691 256
635 624 y 712 216
643 336 y 652 664
667 964 y 783 556
726 104 y 796 696
802 725 y 863 835
879 712 y 901 424
898 216 y 980 984
947 835 y 1 125 765
998 104 y 1 043 096
etc.

Maneras de construir

Fórmula de Thabit ibn Qurra

Si para un número natural los tres números son: $n>1$

p=3\veces 2^{{n-1}}-1

q=3\veces 2^{n}-1

r=9\veces 2^{{2n-1}}-1

son primos , luego los números y forman un par de números amigos. $2^{n}pq$ $2^{n}r$

Esta fórmula da los pares (220, 284), ( 17296 , 18416 ) y ( 9363584 , 9437056 ) respectivamente para , pero no hay otros pares de números amistosos que puedan obtenerse de esta fórmula para . $n=2,\;4,\;7$ ${\ estilo de visualización n <20 ~ 000,}$

Fórmula de Euler

Euler amplió la fórmula de Thabit ibn Qurra. Si para natural los tres números: $n>m$

p=(2^{nm}+1)\veces 2^{m}-1

{\ estilo de visualización q = (2^{nm}+1)\veces 2^{n}-1}

r=(2^{nm}+1)^{2}\veces 2^{m+n}-1

son primos , luego los números y forman un par de números amigos. La fórmula de Thabit ibn Qurra se obtiene a partir de la fórmula de Euler por sustitución . La fórmula de Euler agregó solo 2 pares a la lista de números amistosos: $2^{n}pq$ $2^{n}r$ ${\ estilo de visualización m = n-1}$ ${\ estilo de visualización (m, n) = (1,8), (29,40).}$

Método de Walter Bohr

Si para un par de números amigos de la forma y los números y son primos y no son divisibles por , entonces para todos los números naturales en los que ambos números y son primos, los números y son amigos. $A = au$ $B = como$ $s$ $p=u+s+1$ $a$ $pags$ $norte$ $q_{1}=(u+1)p^{{n+1}}-1$ $q_{2}=(u+1)(s+1)p^{n}-1$ $B_{1}=Ap^{n}q_{1}$ $B_{2}=ap^{n}q_{2}$

Temas abiertos

No se sabe si el número de pares de números amigos es finito o infinito. Hasta abril de 2016, se conocen más de 1.000.000.000 de pares de números amistosos [1] . Todos ellos consisten en números de la misma paridad.

No se sabe si hay un par par-impar de números amigos.

Tampoco se sabe si existen números amigos coprimos , pero si existe tal par de números amigos, entonces su producto debe ser mayor que 10 67 .

Datos interesantes

Un par de números amistosos 1184 y 1210 fueron descubiertos en 1866 por un colegial italiano, Niccolo Paganini, el homónimo completo del famoso virtuoso y compositor . Es curioso que este par no haya sido descubierto por otros grandes matemáticos.

Primero, el número de números amigables conocidos con n dígitos aumenta predominantemente, alcanzando un máximo en n = 111 ( se conocen 19,790,790 pares de números amigables con 111 dígitos decimales), pero luego disminuye predominantemente, alcanzando cero en n = 917 (no hay pares conocidos de 917 dígitos de números amistosos). Aquí, el número de dígitos de un par es el número de dígitos del número más pequeño del par.

El proyecto BOINC

El 30 de enero de 2017 se lanzó un proyecto de computación distribuida en la plataforma BOINC - Amicable Numbers [2] . La búsqueda de números amistosos se lleva a cabo tanto con la ayuda de cálculos en el procesador como en la tarjeta de video .

Véase también

Notas

↑ Lista de parejas amistosas de Sergei Chernykh . Archivado el 16 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
↑ Lanzamiento público 30 de enero de 2017

Enlaces

M. García, JM Pedersen, HJJ te Riele. Parejas amistosas, una encuesta (neopr.) // Informe MAS-R0307. - 2003. Archivado el 29 de noviembre de 2006. Archivado el 29 de noviembre de 2006 en Wayback Machine .
Weisstein, Eric W. Amicable Pair (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Thâbit ibn Kurrah Rule (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Euler's Rule (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Amicable Numbers es un proyecto BOINC para encontrar números amigos.

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)

Números por características de divisibilidad
Información general	Factorización de números enteros Divisibilidad divisor unitario Función divisoria número primo Teorema fundamental de la aritmética número aritmético
Formas de factorización	número primo Número compuesto Semiprima número rectangular número esfénico Número sin cuadrados múltiplo completo grado perfecto numero de aquiles número suave número normal número aproximado número inusual
Con divisores limitados	número perfecto Cifras ligeramente insuficientes Números ligeramente redundantes número multiperfecto Números hemiperfectos número hiperperfecto número súper perfecto primo unitario número semiperfecto número pararítmico Número de Erdős-Nicolas
Números con muchos divisores	exceso de números Exceso de números primitivos Números altamente redundantes Números superredundantes Números enormemente redundantes número supercompuesto Un número altamente supercompuesto número extraño
Relacionado con secuencias alícuotas	número sagrado números amistosos números públicos Números casi amigables
Otro	No hay suficientes números números de amigos numeros sublimados Números de mineral número humilde Dígitos iguales número extravagante