Analiticidad de funciones holomorfas

En análisis complejo , una función de una variable compleja se llama $F$

holomorfo en un punto si es diferenciable en alguna vecindad abierta $a$
analítico en un punto si existe alguna vecindad del punto donde coincide con una serie de potencia convergente ${\ estilo de texto a}$ $a$ $F$

{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}c_{n}(za)^{n))

Uno de los resultados más importantes del análisis complejo es el teorema de que las funciones holomorfas son analíticas . Las consecuencias de este teorema incluyen, entre otros, los siguientes resultados:

teorema de unicidad: dos funciones holomorfas cuyos valores coinciden en todo punto del conjunto (que tiene un punto límite dentro de la intersección de los dominios de las funciones) también coinciden en cualquier subconjunto abierto conexo de sus dominios que contiene . $S$ $S$
dado que una serie de potencias es infinitamente diferenciable, la función holomorfa correspondiente también es infinitamente diferenciable (en contraste con el caso de una función real diferenciable).
el radio de convergencia siempre coincide con la distancia del centro a al punto singular más cercano . Si no hay ninguno (es decir, si es una función completa ), entonces el radio de convergencia es igual a infinito. $F$
una función holomorfa completa no puede ser finita, es decir, no puede tener como soporte (compacto) un subconjunto abierto conexo del plano complejo .

Prueba

La prueba, propuesta por primera vez por Cauchy, se basa en la fórmula integral de Cauchy y en una expansión en serie de potencias de la expresión

{\ estilo de visualización {\ dfrac {1} {wz}}}

Denotemos un disco abierto centrado en . Suponga que es diferenciable en todas partes en una vecindad abierta de la clausura . Denotemos un círculo orientado positivamente que es el límite de , y sea a un punto en . Partiendo de la fórmula integral de Cauchy, se puede escribir $D$ $a$ $F$ $D$ $C$ $D$ $z$ $D$

{\begin{alineado}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over wz}\,\mathrm {d} w\ \[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (wa)-(za)}\,\mathrm {d} w\\[10pt ]&{}={1 \sobre 2\pi i}\int _{C}{1 \sobre wa}\cdot {1 \sobre 1-{za \sobre wa}}f(w)\,\mathrm { d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over wa}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\ izquierda({za \over wa}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty} {1 \over 2\pi i}\int _{C}{(za)^{n} \over (wa)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end {alineado}}

La permutación de las operaciones de integración y suma infinita es válida, ya que la expresión está limitada por alguna constante positiva para cualquier on , mientras que la desigualdad $METRO$ $w$ $C$

$\left|{\frac {za}{wa}}\right|\leq r<1$

también es válido para algunos positivos . De este modo, $C$ $r$

$\left|{(za)^{n} \over (wa)^{n+1}}f(w)\right|\leq Sr^{n}$

en _ La serie converge uniformemente según el criterio de convergencia de Weierstrass , lo que significa que los signos de la suma y la integral se pueden reorganizar. $C$ $C$

Como la expresión no depende de la variable, se puede sacar del signo integral: ${\ estilo de visualización (za) ^ {n})$

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}(za)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (wa)^{n+1}}\,\mathrm {d} w

Por lo tanto, la expansión de la función toma la forma deseada de una serie de potencias de : $F$ $z$

{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}c_{n}(za)^{n))

con coeficientes

c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (wa)^{n+1))\,\mathrm {d} w.

Notas

Dado que las series de potencias se pueden derivar término a término, el razonamiento anterior se puede aplicar a la inversa a la expansión en serie de la expresión

{\displaystyle {\frac {1}{(wz)^{n+1))))

, obteniendo así

$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (wa)^{n+1}}\,dw.$

Esta es la fórmula integral de Cauchy para derivadas. Así, la serie de potencias anterior es la serie de Taylor de la función .

F

La prueba es válida sólo si el punto está más cerca del centro del disco que de cualquier punto singular . Por lo tanto, el radio de convergencia de la serie de Taylor no puede ser menor que la distancia desde el punto singular más cercano de la función. (Obviamente, el radio tampoco puede ser mayor que esta distancia, ya que la serie de potencias no tiene puntos singulares dentro de sus radios de convergencia). $z$ $a$ $D$ $F$ $a$
Un caso especial del teorema de la identidad La observación anterior implica un caso especial del teorema de la unicidad de una función holomorfa. Si dos funciones holomorfas coinciden en una vecindad abierta (posiblemente muy pequeña) del punto , entonces también coinciden en el disco abierto , donde es la distancia desde el punto singular más cercano. $tu$ $a$ ${\ Displaystyle B_ {d} (a)}$ $d$ $a$