Progresiones aritméticas de números primos

Varios números primos pueden ser miembros de una progresión aritmética .

Todas las secuencias de números primos que son elementos estrictamente consecutivos de alguna progresión aritmética son finitas, pero existen secuencias arbitrariamente largas (ver el teorema de Green-Tao ).

Ejemplos de números primos en progresión aritmética

longitud	diferencia	subsecuencia
3	2	3, 5, 7
5	6	5, 11, 17, 23, 29
6	treinta	7, 37, 67, 97, 127, 157
7	150	7, 157, 307, 457, 607, 757, 907
diez	210	199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089
12	13860	110437, 124297, 138157, 152017, 165877, 179737, 193597, 207457, 221317, 235177, 249037, 262897
13	30030	14933623 14963653 14993683 15023713 15053743 15083773 15113803 15143833 15173863 15203893 15233923 15263953

A partir de 2020, las secuencias más largas conocidas de este tipo tienen 27 de longitud, por ejemplo:

224 584 605 939 537 920 + 81 292 139 23# n , donde n =0..26, 23# es el primorial del número 23, igual a 223 092 870 . [una]

Una estimación de los números mínimos en progresiones de una longitud dada

Para cualquier número natural , existe una progresión aritmética de números primos de longitud , todos cuyos miembros no son mayores que . [2] $k$ $k$ ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{100k))))))))))))$

Secuencias sin espacios

Se puede exigir que no haya otros números primos entre miembros adyacentes de la progresión, es decir, que la progresión sea parte de una secuencia común de números primos.

Ejemplos de números primos en progresión aritmética sin espacios

longitud	diferencia	subsecuencia
3	2	3, 5, 7
cuatro	6	251, 257, 263, 269
5	treinta	9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139
6	treinta	121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961

La secuencia más larga conocida de este tipo tiene una longitud de 10.

A partir de 2017, solo se conocen 2 de estas secuencias [3] :

1 180 477 472 752 474 193# + x 77 + 210 n , para n =0..9 (93 dígitos), 507 618 446 770 482 193# + x 77 + 210 n , para n =0..9 (93 dígitos),

dónde

x 77 = 54 538 241 683 887 585 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - número primo de 77 dígitos, un 193# es el primorial del número 193, es decir, el producto de primos .

2\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot 193

Notas

↑ Estadísticas AP26 . www.primegrid.com. Consultado el 30 de marzo de 2018. Archivado desde el original el 18 de julio de 2017. (indefinido)
↑ Karen R. Johannson "Variaciones de un teorema de van der Waerden" p.74
↑ Jens Kruse Andersen. Los CPAP más grandes conocidos . primerecords.dk. Consultado el 12 de abril de 2017. Archivado desde el original el 12 de noviembre de 2017. (indefinido)

Enlaces

Chris Caldwell, de Prime Pages :
Diccionario de números primos: secuencias aritméticas (inglés)
TOP 20: Progresiones aritméticas a partir de números primos (inglés)
TOP 20: Progresiones aritméticas a partir de números primos sin espacios (ing.)
Weisstein, Eric W. Progresiones aritméticas a partir de números primos (inglés) en Wolfram MathWorld .
Jarosław Wróblewski, ¿Cómo encontrar una progresión aritmética de 26 números primos? (Inglés)
P. Erdős y P. Turán, "Sobre algunas sucesiones de números enteros", J. London Math. soc. 11 (1936), 261–264.