Teorema de Greene-Tao

El teorema de Green-Tao es un enunciado de teoría numérica demostrado por Ben Green y Terence Tao en 2004 [1] de que una secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas de longitud arbitraria. En otras palabras, existen progresiones aritméticas de primos con k términos, donde k puede ser cualquier número natural. La prueba se encuentra en una extensión del teorema de Szémerédy .

Redacción

Aunque el teorema de Green-Tao se conoce solo como una prueba del hecho mismo de la presencia de progresiones arbitrariamente largas en el conjunto de números primos, sin embargo, hay [2] refuerzos significativos de esta declaración: en primer lugar, la declaración sigue siendo verdadera para un conjunto arbitrario de primos de densidad positiva (con respecto al conjunto de todos los primos); en segundo lugar, hay límites superiores separados sobre cuán grandes pueden ser los elementos de la progresión mínima en el conjunto en consideración.

Más adelante en las formulaciones se entiende el conjunto de los números primos. La entrada significa , donde el logaritmo se toma veces. ${\mathbb P}$ ${\ estilo de visualización \ log _ {[k]} x}$ $\log \log \dots \log x$ $k$

Teorema de Greene-Tao

Sea un conjunto de números primos y su densidad con respecto a los números primos sea estrictamente positiva. Entonces, para cualquiera, el conjunto contiene una progresión aritmética de longitud . $A$ $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots,N\}|}{ |\mathbb {P} \cap \{1,\puntos,N\}|}}$ $k\geqslant 2$ $A$ $k$

En su trabajo anterior separado [3] , Green probó un resultado relacionado con la función de distribución del conjunto , pero solo para un caso especial de una progresión de tres términos. $A$

Existe una constante tal que si el conjunto de primos satisface , entonces contiene una progresión aritmética de tres términos. $C$ $A\subconjunto \{1,\puntos,N\}$ $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N))}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N)) }}$

Dado que la función requerida es asintóticamente menor que el número de números primos en el segmento , el teorema se cumple para conjuntos infinitos de densidad positiva cuando , . Así, podemos reformular el último teorema para una densidad fija. ${\ estilo de visualización [1, n]}$ $|A\cap \{1,\dots,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N))$ $\delta>0$

Existe una constante tal que para cualquier conjunto de números primos y su densidad , se cumplirá el siguiente corolario: si , entonces contiene una progresión aritmética de tres términos. $C$ $A\subconjunto \{1,\puntos,N\}$ $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots,N\}|))$ ${\displaystyle N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right))))) )$ $A$

Ejemplos

18 de enero de 2007 Yaroslav Vroblevsky encontró el primer caso de una progresión aritmética de 24 números primos [4] : 468 395 662 504 823 + 205 619 223 092 870 n , de n = 0 a 23.

Aquí la constante 223 092 870 es el producto de números primos no mayores que 23 (ver primorial ).

El 17 de mayo de 2008, Wroblewski y Raanan Chermoni encontraron una secuencia de 25 números primos: 6 171 054 912 832 631 + 366 384 223 092 870 n , de n = 0 a 24.
El 12 de abril de 2010, Benoit Perichon, utilizando el programa de Wroblewski y Jeff Reynolds en el proyecto de computación distribuida PrimeGrid , encontró una progresión aritmética de 26 números primos: 43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 223 092 870 n , n = 0 a 25 (secuencia A204189 en OEIS ).

Variaciones y generalizaciones

En 2006, Tao y Tamar Ziegler generalizaron el resultado a progresiones polinómicas [5] . Más precisamente, para cualquier polinomio dado con coeficientes enteros P 1 , …, P k de una variable m con un término constante cero, hay infinitos números enteros x , m tales que x + P 1 ( m ), …, x + P k ( m ) son números primos. El caso especial donde los polinomios son m , 2 m , …, km , conlleva el resultado anterior (existen progresiones aritméticas de números primos de longitud k ).

Véase también

Notas

↑ Green, Ben & Tao, Terence (2008), Los primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas , Annals of Mathematics Vol. 167(2): 481-547 , DOI 10.4007/annals.2008.167.481 .
↑ I. D. Shkredov, Teorema y problemas de progresiones aritméticas de Szemeredy. Archivado el 24 de julio de 2018 en Wayback Machine , p. 117.
↑ Green, Ben (2005), El teorema de Roth en los números primos , Annals of Mathematics Vol . 161(3): 1609-1636 , DOI 10.4007/annals.2005.161.1609
↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Archivado el 14 de julio de 2014 en Wayback Machine .
↑ Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), Los números primos contienen progresiones polinómicas arbitrariamente largas , Acta Mathematica T. 201: 213-305 , DOI 10.1007/s11511-008-0032-5 .

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Ejemplos

Variaciones y generalizaciones

Véase también

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