Análisis asintótico

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El análisis asintótico es un método para describir el comportamiento límite de funciones.

Por ejemplo, en una función , a medida que se acerca al infinito, el término se vuelve insignificante en comparación con , por lo que se dice que la función es “asintóticamente equivalente a ”, que a menudo también se escribe como . Un ejemplo de un resultado asintótico importante es el teorema de los números primos . Let denota la función de distribución de primos , es decir, igual al número de primos que son menores o iguales que , entonces el teorema se puede formular como . $f(n)=n^{2}+3n$ $norte$ $3n$ $n^{2}$ $f(n)$ $n^{2}$ $n\to\infty$ ${\ estilo de visualización f (n) \ sim n ^ {2))$ $\pi(x)$ $\pi(x)$ $X$ ${\ estilo de visualización \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ log x}}}$

Igualdad asintótica

Sean y sean algunas funciones. Entonces la relación binaria se define de tal manera que $f(x)$ $g(x)$ $\sim$

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{for }}x\to \infty )

si y solo si [1]

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)))=1.

Las funciones y también se denominan asintóticamente equivalentes ya que es una relación de equivalencia para funciones sobre . El dominio de y puede ser cualquier conjunto en el que el concepto de límite tenga sentido: números reales , números complejos , números naturales , etc. La misma notación también se usa para otras restricciones de límite en , como . Por lo general, no se indica un límite específico si está claro por el contexto. $F$ $gramo$ $\sim$ $X$ $F$ $gramo$ $X$ ${\ estilo de visualización x \ a 0}$

La definición anterior es común en la literatura, pero pierde su significado si se repite un número infinito de veces. Por lo tanto, algunos autores utilizan una definición alternativa en términos de notación O : $g(x)$ ${\ estilo de visualización 0}$

f(x)-g(x)\in o(g(x)).

Esta definición es equivalente a la anterior si es diferente de cero en alguna vecindad del punto límite [2] [3] . $g(x)$

Propiedades

Si y , entonces, bajo algunas restricciones naturales, se cumple lo siguiente: $f \ sim g$ ${\ estilo de visualización a \ sim b}$

${\displaystyle f^{r}\sim g^{r))$ , para cualquier real $r$
${\ estilo de visualización \ log (f) \ sim \ log (g)}$
$f\times a\sim g\times b$
${\ estilo de visualización f/a\sim g/b}$

Estas propiedades permiten intercambiar libremente funciones asintóticamente equivalentes entre sí en algunas expresiones algebraicas.

Ejemplos de fórmulas asintóticas

Fórmula de Stirling para factoriales

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Número de formas de dividir un número natural en una suma desordenada de números naturales $norte$

p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3))))e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3))))

Función de Airy - solución de una ecuación diferencial $Ai(x)$ $y''-xy=0$

{\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi}}x^{1/4))))

Funciones de Hankel

{\begin{alineado}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z))}e^{i\left(z) -{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2} {\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{alineado}}

Expansión asintótica

Una expansión asintótica de una función es una expresión de una función en forma de serie cuyas sumas parciales pueden no converger , pero cualquier suma parcial da la estimación asintótica correcta . Por lo tanto, cada siguiente elemento de la expansión asintótica da una descripción un poco más precisa del orden de crecimiento de . En otras palabras, si es una expansión asintótica de , entonces , en el caso general, para cualquier . De acuerdo con la definición , esto significa que , es decir, crece asintóticamente mucho más lentamente $f(x)$ $F$ $F$ $f=g_{1}+g_{2}+g_{3}+\puntos$ $F$ ${\ estilo de visualización f \ sim g_ {1},}$ ${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2))$ ${\displaystyle f-g_{1}-\cdots-g_{k-1}\sim g_{k))$ $k$ $\sim$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ $g_{k}.$

Si la expansión asintótica no converge, entonces para cualquier argumento hay una suma parcial que se aproxima mejor a la función en este punto, y la adición adicional de términos solo reducirá la precisión. Como regla general, el número de términos en tal suma óptima aumentará a medida que se acerque al punto límite. $X$

Ejemplos de expansiones asintóticas

función gamma

{\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x ))+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )

exponente integral

xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n }}}\(x\to\infty)

Función de error

{\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1 )^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )

donde ( 2n − 1)!! es el doble factorial .

Aplicaciones

Se utiliza el análisis asintótico:

En matemáticas aplicadas para construir métodos numéricos para la resolución de ecuaciones.
En estadística matemática y teoría de probabilidad para determinar las propiedades limitantes de variables aleatorias y estimaciones estadísticas .
En informática en el análisis de algoritmos y su tiempo de ejecución .
En física estadística en el análisis del comportamiento de los sistemas físicos .
En el análisis de catástrofes en la determinación de las causas de una catástrofe modelando muchas catástrofes en el mismo lugar.

El análisis asintótico es una herramienta clave para estudiar las ecuaciones diferenciales que surgen en el modelado matemático de los fenómenos del mundo real [4] . Por regla general, la aplicación del análisis asintótico tiene como objetivo estudiar la dependencia del modelo de algún parámetro adimensional , que se supone despreciable en la escala del problema que se está resolviendo.

Las expansiones asintóticas, por regla general, surgen en los cálculos aproximados de algunas integrales ( método de Laplace , método del punto de silla ) o distribuciones de probabilidad ( serie de Edgeworth ). Un ejemplo de una expansión asintótica divergente son los gráficos de Feynman en la teoría cuántica de campos .

Véase también

Asíntota
Densidad asintótica (en teoría de números)
"O" grande y "o" pequeña
Evento asintóticamente cierto

Notas

↑ ( de Bruijn 1981 , §1.4)
↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Igualdad asintótica , Enciclopedia de matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Estrada & Kanwal (2002 , §1.2)
↑ Howison, S. (2005), Matemáticas prácticas aplicadas Archivado el 22 de julio de 2021 en Wayback Machine , Cambridge University Press

Literatura

Fedoryuk M. V. Asintótica: Integrales y series. — M .: Nauka , 1987. — 544 p. — (Biblioteca matemática de referencia).
Olver, F. Introducción a los métodos asintóticos y funciones especiales. — M .: Nauka , 1978. — 386 p.
Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , < https://books.google.com/books?id=V-17CwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
de Bruijn, NG (1981), Métodos asintóticos en análisis , Publicaciones de Dover , < https://books.google.com/books?id=Oqj9AgAAQBAJ&printsec=frontcover >
Estrada, R. & Kanwal, RP (2002), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , < https://books.google.com/books?id=X3cECAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Miller, P.D. (2006), Análisis asintótico aplicado , Sociedad matemática estadounidense , < https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Murray, JD (1984), Análisis asintótico , Springer , < https://books.google.com/books?id=PC3rBwAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false >
Paris, R. B. & Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press y-Mellin-Barnes-Integrals.pdf >

Enlaces

Análisis asintótico : página de inicio de la revista, publicada por IOS Press
Un artículo sobre análisis de series de tiempo utilizando distribución asintótica