Serie (matemáticas)

Una serie , también llamada suma infinita , es uno de los conceptos centrales del análisis matemático . En el caso más simple, la serie se escribe como una suma infinita de números [1] :

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots \quad

Nota breve: (a veces la numeración de los términos no comienza desde 1, sino desde 0)

\sum _{{n=1}}^{{\infty}}a_{n}

Aquí hay una secuencia de números reales o complejos ; estos números se llaman términos de la serie . $a_{1},a_{2},a_{3}\puntos$

Para asignar el valor de una suma a una serie de números, considere la secuencia de " sumas parciales " que resulta de terminar una suma infinita en algún término:

S_{1}=a_{1}

{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2))

{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3))

\cdots

{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\puntos +a_{n))

\cdots

Si la sucesión de sumas parciales tiene un límite (finito o infinito), entonces dicen que la suma de la serie es igual a A su vez, si el límite es finito, entonces dicen que la serie converge . Si el límite no existe o es infinito, se dice que la serie diverge [1] . $S$ $S.$

Para aclarar la pregunta clave en el análisis, si una serie dada converge o no, se han propuesto numerosos criterios de convergencia .

Las series numéricas y sus generalizaciones (ver más abajo sobre series no numéricas ) se utilizan en todas partes en el análisis matemático para cálculos, para analizar el comportamiento de varias funciones, para resolver ecuaciones algebraicas o diferenciales . La expansión de una función en una serie se puede considerar como una generalización de especificar un vector con coordenadas , esta operación nos permite reducir el estudio de una función compleja al análisis de funciones elementales y facilita los cálculos numéricos [2] . Las series son una herramienta de investigación indispensable no solo en matemáticas, sino también en física, astronomía, informática, estadística, economía y otras ciencias.

Serie de números

Ejemplos

El ejemplo más simple de una serie convergente es la suma de los términos de una progresión geométrica infinita [3] con el denominador : ${\ estilo de visualización | q | <1}$

a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\puntos

Suma parcial El límite de esta expresión es la suma de una progresión geométrica infinita [1] . Por ejemplo, cuando obtienes una serie cuya suma es 2: $S_{n}=a\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-q)),$ $a=1,q={\frac{1}{2))$

2=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\puntos

Un decimal con una parte fraccionaria infinita se puede considerar como la suma de una serie [3] ; por ejemplo, el número es la suma de la siguiente serie: ${\ estilo de visualización \ pi = 3 {,} 1415926 \ puntos}$

3+{\frac {1}{10^{1}}}+{\frac {4}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+ {\frac {5}{10^{4}}}+{\frac {9}{10^{5}}}+\puntos

Un ejemplo más complicado es la serie de los cuadrados inversos , cuya suma los mejores matemáticos de Europa no pudieron encontrar durante más de 100 años [4] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

La serie diverge, su suma es infinita. La serie armónica también diverge : la " serie de Grundy " diverge, sus sumas parciales van de 1 a 0, por lo que no hay límite para las sumas parciales, esta serie no tiene suma [5] . ${\ estilo de visualización 1+1+1+\puntos}$ $\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n))={\infty}.$ ${\ estilo de visualización 1-1 + 1-1 + 1-1 \ puntos}$

Clasificación

Una serie positiva [6] es una serie real cuyos términos son todos no negativos. Para series positivas, la suma siempre existe, pero puede ser infinita [7] .

Una serie alterna es una serie real en la que se alternan los signos de los términos: más, menos, más, menos, etc. Para tales series, existe una prueba simple de convergencia de Leibniz . La versión alterna de la serie armónica anterior , a diferencia de la última, converge [8] :

1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)

Convergencia absoluta y condicional

Se dice que una serie real o compleja converge absolutamente si converge una serie de módulos ( valores absolutos ) de sus miembros [8] :

\sum _{n=1}^{\infty}|a_{n}|

Una serie absolutamente convergente también converge en el sentido habitual de este concepto. Al mismo tiempo, cualquier serie de este tipo tiene una propiedad importante de desplazabilidad: para cualquier permutación de los términos de una serie absolutamente convergente, se obtiene una serie convergente con la misma suma [9] . En particular, para series convergentes positivas, puede reorganizar los términos de la serie de cualquier manera, esto no afecta la convergencia y la suma [10] .

Si una serie de números converge pero no absolutamente, se dice que es condicionalmente convergente . Ejemplo:

1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}\puntos

La serie misma converge, pero la serie de sus valores absolutos ( la serie armónica ) diverge [8] .

Propiedades de series condicionalmente convergentes [8] .

Si una serie converge condicionalmente , tanto la serie de sus términos positivos como la serie de sus términos negativos divergen.
- Consecuencia (criterio de convergencia absoluta): una serie de números reales converge absolutamente si y sólo si convergen tanto la serie de sus términos positivos como la serie de sus términos negativos.
( Teorema de Riemann ): Reordenando los términos de una serie condicionalmente convergente, se puede obtener una serie con cualquier suma real dada.

Operaciones en filas

Sean series convergentes y dadas . Después: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}b_{n}$

Su suma se llama la serie de diferencia - la serie $\sum _{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n}),$ $\sum _{n=1}^{\infty}(a_{n}-b_{n}).$

Si ambas series convergen en y respectivamente, entonces su suma y diferencia también convergen. La suma de series convergentes y divergentes siempre diverge [11] :

S_{1}

S_{2}

\sum _{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})=S_{1}+S_{2};\quad \sum _{n=1}^{ \infty }(a_{n}-b_{n})=S_{1}-S_{2}

, Si ambas series convergen absolutamente, entonces la suma y la diferencia de estas series también convergen absolutamente [12] .

Su producto Cauchy es una serie donde: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}c_{n))$

c_{n}=\sum_k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}=a_{1}b_{1}+(a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})+(a_{1}b_{3}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{1})+\puntos +(a_{1}b_ {n}+a_{2}b_{n-1}+\puntos +a_{n}b_{1})

Si al menos una de las series originales converge absolutamente, entonces el producto de la serie converge [13] .

Un criterio necesario para la convergencia de una serie de números

La serie puede converger solo si el término (término común de la serie) tiende a cero a medida que aumenta su número [14] : ${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+\ldots +{a}_{n}+\ldots$ ${\ estilo de visualización {a} _ {n}}$

\lim _{n\rightarrow \infty} {a}_{n}=0.

Este es un signo necesario de la convergencia de la serie, pero no es suficiente - para una serie armónica , por ejemplo, el término común decrece indefinidamente al aumentar el número, sin embargo, la serie diverge. Si el término común de la serie no tiende a cero, entonces la serie ciertamente diverge [14] .

Serie convergente

Propiedad 1. Si la serie

\sum_{n=1}^{\infty}{a}_{n}={a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a }_{4}+\ldots

(1.1)

converge y su suma es , entonces la serie $S$

\sum_{n=1}^{\infty}c{a}_{n}=c{a}_{1}+c{a}_{2}+c{a}_{3 }+c{a}_{4}+\ldots

(1.2)

donde es un número arbitrario, también converge y su suma es . Si la serie (1.1) diverge y , entonces la serie (1.2) diverge. $C$ ${\ estilo de visualización cS}$ $c\neq 0$

Propiedad 2 ( ley asociativa ). En una serie convergente, puede combinar arbitrariamente miembros vecinos en grupos sin violar su orden [15] .

Esta propiedad se puede utilizar para probar la divergencia de una serie: si después de la agrupación especificada se obtiene una serie divergente, entonces la serie original también diverge.

Cuestiones no resueltas

Todavía se desconoce si la serie Flint Hills converge [16 ] :

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {cosec} ^{2}(n)}{n^{3))))

Si es posible probar que esta serie converge, entonces como consecuencia resultará un hecho importante: la medida de la irracionalidad de un número $\Pi$ es menor que 2,5.

Se sabe que la suma de una serie de cuadrados inversos y las sumas de otras series con potencias pares recíprocas se expresan en términos de potencias de un número, $\Pi ,$ pero poco se sabe sobre la suma de cubos inversos (" constante de Aperi "):

{\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\ fracción {1}{4^{3}}}+\puntos \aprox. 1{,}2020569

Nadie ha podido aún conectar este valor con constantes clásicas o funciones elementales [17] .

Serie con miembros no numéricos

El concepto de serie infinita y su suma se puede introducir no solo para los números, sino también para otros objetos matemáticos , para los cuales se define la suma y el concepto de proximidad, que permite determinar el límite. Por ejemplo, las series de funciones se utilizan mucho en el análisis : series de potencias, series de Fourier, series de Laurent . Los miembros de la serie también pueden ser vectores , matrices , etc.

Definición general

Una serie (o una suma infinita ) en matemáticas es una secuencia de elementos ( miembros de una serie dada ) de algún espacio vectorial topológico , considerado junto con un conjunto de sumas parciales de los miembros de la serie (las sumas parciales se definen en el mismo como en series numéricas). Si se define un límite para una secuencia de sumas parciales : entonces el valor se llama la suma de la serie dada, y la serie misma se llama convergente (si no, divergente ) [18] . $a_{1},a_{2},a_{3}\puntos$ $S=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n},$ $S$

Las series siempre se pueden sumar o restar término por término, y la suma y la diferencia de las series convergentes también convergen. Si los términos de la serie se toman de un anillo o un campo , entonces las series mismas forman un anillo con respecto a la suma y el producto de Cauchy .

Serie funcional

Definición y propiedades

Una serie se llama funcional si todos sus miembros son funciones definidas en algún conjunto:

a_{1}(x)+a_{2}(x)+a_{3}(x)+\ldots +a_{n}(x)+\ldots ;\quad

nota corta:

\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}(x)

Las sumas parciales en este caso también son funciones definidas en el mismo conjunto. Una serie se llama convergente en el conjunto si para cualquier serie de números fijos converge [2] : $X$ $x_{0}\en X$

a_{1}(x_{0})+a_{2}(x_{0})+a_{3}(x_{0})+\ldots +a_{n}(x_{0})+ \ldots

El conjunto se llama región de convergencia de la serie. La suma de la serie es obviamente también una función en $X$ $X.$

Un ejemplo es la expansión en serie de una fracción racional:

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Esta serie converge en el intervalo . $(-1;\;1)$

Entre los principales tipos de series funcionales:

series de potencias (particularmente series de Taylor );
serie trigonométrica ; en particular series de Fourier ;
filas de Laurent .

Además de la convergencia “puntual” definida anteriormente, se pueden utilizar otras normas de proximidad en diferentes espacios , de las que depende la existencia del límite de sumas parciales. Por ejemplo, se puede definir la "norma de Chebyshev" [19] .

Convergencia uniforme

En términos generales, las propiedades de una suma pueden diferir de las de los términos de una serie; por ejemplo, la suma de una serie de funciones continuas puede no ser continua [20] .

Se dice que una serie funcional que converge en un conjunto converge uniformemente (en este conjunto) [21] si la secuencia de sumas parciales de la serie converge uniformemente en . $X$ $X$

Hay varios signos que permiten verificar la convergencia uniforme de la serie [21] :

La importancia del concepto de convergencia uniforme de una serie se muestra mediante los siguientes teoremas (se supone que todas las funciones son reales).

La suma de una serie de funciones que son continuas en algún punto será ella misma continua en ese punto, siempre que la serie funcional converja uniformemente en el punto. En particular, la suma de una serie uniformemente convergente de funciones reales que son continuas en un segmento también será continua en este segmento [22] . $x_{0}$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización [a, b],}$
Si las funciones son continuamente diferenciables en el intervalo y en ambas series: $f_{n}(x)$ $[a,b]$

f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\puntos

{\frac {df_{1}(x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{ dx}}+\puntos

convergen en , y la serie de derivadas converge uniformemente, entonces la suma de la serie tiene una derivada, y la serie se puede derivar término por término [23] :

[a,b]

{\frac {d}{dx}}(f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\dots )={\frac {df_{1} (x)}{dx}}+{\frac {df_{2}(x)}{dx}}+{\frac {df_{3}(x)}{dx}}+\puntos

Si las funciones son continuas en el intervalo y la serie converge uniformemente a la función, entonces la serie se puede integrar término a término [24] : $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\puntos$ $[a,b]$ ${\ estilo de visualización F (x),}$

\int \limits _{a}^{b}F(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty}\int \limits _{a}^{b}{f_{n }}(x)dx

La condición de convergencia uniforme garantiza que la serie de la derecha converge.

Si las funciones son integrables de Riemann en un segmento y la serie converge uniformemente a la función, entonces la suma de la serie también será integrable de Riemann [24] . $f_{n}(x)$ $[a,b]$ $f_{1}(x)+f_{2}(x)+\puntos$ $[a,b]$ ${\ estilo de visualización F (x),}$

Un ejemplo de una serie de potencias no uniformemente convergente es una progresión geométrica .En el intervalo , converge a una función pero no uniformemente (como lo demuestra el salto infinito de la suma al acercarse a 1) [25] . $1+x+x^{2}+x^{3}+\puntos$ ${\ estilo de visualización [0,1)}$ ${\frac{1}{1-x)),$

Series de matrices

En el anillo de matrices cuadradas numéricas de un orden fijo, nos referimos a un vecindario de una matriz, un conjunto de matrices , todos cuyos menos de lo quede los componentes correspondientes endifierencomponentes es el límite de la secuencia correspondiente. $norte$ $\varepsilon$ $A$ $A$ $\varepsilon.$ $L$ $A_{1},A_{2},A_{3}\puntos$ ${\ Displaystyle L_ {ik}}$ $A_{ik}.$

Ahora es posible definir, mediante reglas generales, series de matrices numéricas, el concepto de convergencia de series (incluida la convergencia absoluta) y la suma de una serie convergente. En otras palabras, una serie de matrices de orden converge si la serie de sus componentes converge, y la suma es una matriz que contiene los límites correspondientes de estas series [26] . $norte$ $n^{2}$

La serie de potencias para matrices tiene la forma [26] :

a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+a_{3}X^{3}+\puntos,

donde están los coeficientes numéricos dados, es la matriz identidad , es la matriz de incógnitas. Esta serie es equivalente a un sistema de series numéricas. Para estimar su convergencia, componemos la serie de potencias habitual de números complejos: $a_{0},a_{1},\puntos$ $yo$ $X$ $n^{2}$

a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\puntos

Sea el radio de convergencia de esta serie Entonces los siguientes teoremas son verdaderos [26] : $r$

La serie de potencias de la matriz converge absolutamente para todas las matrices ubicadas en la vecindad de la matriz cero , donde $\varepsilon$ ${\displaystyle\varepsilon=R/n.}$
Si una serie de potencias de matriz converge en la región donde es una matriz con componentes positivos y es una matriz de módulos de incógnitas, entonces converge absolutamente en esta región. ${\ estilo de visualización | X | <P,}$ $PAGS$ $|X|$

Para ver un ejemplo de una serie de potencias a partir de matrices , consulte Exponente de matriz . Usando series, se pueden definir funciones estándar para matrices cuadradas (por ejemplo, seno ).

Variaciones y generalizaciones

Una generalización del concepto de serie es el concepto de serie doble , cuyos miembros no están numerados por uno, sino por dos índices [27] .

Una generalización del concepto de suma de una serie es el concepto de función sumadora de una serie , cuya elección hace aceptable el concepto de suma de una serie divergente (en el sentido clásico). Se han propuesto muchas variantes de tal generalización: convergencia de Poisson-Abel , Borel , Cesaro , Euler , Lambert, y otros [28] .

Historia

Período antiguo

Los matemáticos antiguos , de acuerdo con la ideología pitagórica , rechazaron todos los conceptos realmente infinitos , incluidas las series infinitas. Sin embargo, ha habido algunas aplicaciones limitadas del concepto de serie. Por ejemplo, Arquímedes , para calcular el área de un segmento de una parábola , encontró en realidad la suma de una progresión geométrica infinita [29] :

1+{\frac {1}{4^{1}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+ \cdots ={4 \over 3}

Van der Waerden escribe al respecto: "Arquímedes no habla de la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, aún no conoce la expresión "la suma de una serie infinita", pero posee perfectamente la esencia de este concepto". En varios problemas resueltos por Arquímedes para calcular áreas o volúmenes, utiliza, en la terminología moderna, sumas integrales superior e inferior con un número ilimitado de términos. Debido a la ausencia del concepto de límite , se utilizó un engorroso método de agotamiento [29] para justificar el resultado .

Escuela de Kerala

Los matemáticos de la India , que no estaban sujetos a las restricciones pitagóricas, avanzaron significativamente en la teoría de las series y la aplicaron con éxito. La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala (sur de la India) logró el mayor éxito en los siglos XV-XVI . Para los cálculos astronómicos, la gente de Kerala pudo por primera vez en la historia encontrar la expansión de las funciones trigonométricas y otras en series infinitas:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

Sin embargo, no tenían una teoría general de tales expansiones, para obtener estas fórmulas se rectificaba el arco de un círculo [30] [31] . En Europa , James Gregory publicó por primera vez una serie similar para arcotangente en 1671, y una serie para seno y coseno de Isaac Newton en 1666.

De la serie para el arco tangente, Keralas obtuvo una buena aproximación para el número $\Pi$ : ${\ estilo de visualización 3{,} 141592653.}$

En Europa, los logros de la escuela de Kerala permanecieron desconocidos durante mucho tiempo y fueron redescubiertos de forma independiente.

Siglo XVII

Hasta aproximadamente el siglo XVII, las series infinitas rara vez aparecían en los escritos de los matemáticos europeos. Vale la pena mencionar el trabajo del matemático inglés del siglo XIV Richard Swainshead , quien resumió la serie [32] :

{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {2}{2^{2}}}+{\frac {3}{2^{3}}}+{\ fracción {4}{2^{4}}}+{\frac {5}{2^{5}}}+...=2.

En el siglo XVII, las series infinitas ya son de interés general y comienzan a utilizarse para resolver muchos problemas prácticos: cálculos aproximados , interpolación , teoría de los logaritmos , etc.

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent descubrió la conexión entre el logaritmo y el área bajo la hipérbola (ver figura). En 1650, basándose en consideraciones geométricas, el matemático italiano Pietro Mengoli publicó en el tratado " Nuevas cuadraturas aritméticas " la expansión en una serie infinita [33] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots

Mengoli también investigó otras series y demostró que la serie armónica diverge; Mengoli también demostró que la serie del cuadrado inverso converge, aunque no pudo encontrar su suma [33] .

En 1668, el matemático alemán Nicholas Mercator (Kaufmann), que entonces vivía en Londres, en el tratado " Logarithmotechnia " consideró por primera vez la expansión en una serie no de números, sino de funciones, sentando así las bases para la teoría de la serie de potencias . [33] :

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cpuntos

Como herramienta universal para el estudio de funciones y cálculos numéricos, las series infinitas fueron utilizadas por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz , los creadores del análisis matemático . A mediados del siglo XVII, Newton y Gregory descubrieron la expansión binomial para cualquier exponente, no solo para un número entero (publicado por primera vez en Álgebra por Wallis , 1685): $\alfa$

(1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+...

La serie converge en Con la ayuda de esta fórmula, Newton pudo por primera vez calcular el arco de una elipse como una serie (en terminología moderna, calculó la integral elíptica ) [34] . Newton también mostró cómo usar series para resolver ecuaciones, incluidas ecuaciones diferenciales de primer orden , y explorar integrales que no se expresan en términos de funciones elementales [35] . ${\ estilo de visualización | z | \ leqslant 1.}$

A fines del siglo XVII, se conocieron las expansiones en serie de todas las funciones elementales . Leibniz y Gregory descubrieron (1674) la primera expansión de un número $\Pi$ en Europa ( la serie de Leibniz ):

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+ {\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots

A principios de siglo (1689-1704), el alumno de Leibniz, Jacob Bernoulli , publicó la primera monografía en cinco volúmenes bajo el título Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ( Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita ). Mostró el uso de series para resolver una amplia variedad de problemas.

Siglos XVIII-XIX

En 1715, Brooke Taylor publicó la serie fundamental de Taylor (conocida desde hace mucho tiempo, sin embargo, por Gregory y Newton).

Leonhard Euler hizo una gran contribución a la teoría de las series . Fue el primero en encontrar la suma de una serie de cuadrados inversos , desarrolló métodos para mejorar la convergencia de series, comenzó el estudio de series trigonométricas , propuso el concepto de una suma generalizada de una serie adecuada para series divergentes. El concepto mismo de " función analítica " estaba asociado a la posibilidad de su representación en forma de serie de potencias.

En el siglo XIX , Cauchy y Weierstrass construyeron fundamentos rigurosos para el análisis y, en particular, una teoría de series rigurosa. Se introdujo el importante concepto de convergencia uniforme y se formularon varios criterios para la convergencia.

La teoría de las series trigonométricas recibió un rápido desarrollo . Daniil Bernoulli también expresó la creencia de que cualquier función (continua) en un intervalo dado puede representarse mediante una serie trigonométrica [36] . Las discusiones sobre este tema continuaron hasta 1807, cuando Fourier publicó la teoría de la representación de funciones analíticas por partes arbitrarias mediante series trigonométricas (la versión final está contenida en su Teoría analítica del calor, 1822) [37] . Para expandir la función en una serie de Fourier, dio fórmulas integrales para calcular los coeficientes [37] . La exposición de Fourier no era rigurosa en el sentido moderno, pero ya contenía una investigación de la convergencia de la mayoría de las series que obtuvo. $f(x)$ $f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})$

Al mismo tiempo, las series en análisis complejo , incluidas las series de Laurent , se desarrollaron y utilizaron ampliamente en el siglo XIX . El uso de las series en las ciencias naturales comenzó -en la mecánica celeste (para resolver el problema de los tres cuerpos ), en la óptica , la teoría de la conducción del calor , hacia finales de siglo- en la teoría del electromagnetismo .

En el siglo XX, el concepto de serie se extendió a una amplia clase de objetos matemáticos , no necesariamente numéricos.

Notas

↑ 1 2 3 Fikhtengolts, 1966 , p. 257-258.
↑ 1 2 Enciclopedia Matemática, 1984 , p. 1068-1070.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 258-259.
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 52, 178.
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 32-33, 52-53.
↑ Vygodsky, 1977 , p. 540.
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 50-71.
↑ 1 2 3 4 Vorobyov, 1979 , pág. 72-85.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 315.
↑ Vilenkin et al., 1982 , pág. 55.
↑ Vilenkin et al., 1982 , pág. quince.
↑ Vilenkin et al., 1982 , pág. 67, ej. 56.
↑ Rudin, Walter. Principios del Análisis Matemático . - McGraw-Hill, 1976. - Pág . 74 .
↑ 1 2 Vorobyov, 1979 , p. 38-39.
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 40-41.
↑ Serie Colinas de pedernal . Consultado el 11 de mayo de 2019. Archivado desde el original el 11 de mayo de 2019. (indefinido)
↑ Weisstein, la constante de Eric W. Apéry en el sitio web Wolfram MathWorld .
↑ Enciclopedia Matemática, 1984 , p. 1063.
↑ Vilenkin et al., 1982 , pág. 80-82.
↑ Vilenkin et al., 1982 , pág. 86, ej. 70.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 428-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 430-432.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 438-439.
↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , p. 436-438.
↑ Fikhtengolts, 1966 , pág. 424.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V. I. Curso de matemáticas superiores. - 10ª ed. - San Petersburgo. : BHV-Petersburg, 2010. - T. 3 parte 2. - S. 369-374. — 816 pág. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 233-258.
↑ Vorobyov, 1979 , pág. 281-306.
↑ 1 2 Van der Waerden . Ciencia del despertar. Matemáticas del antiguo Egipto, Babilonia y Grecia. - M. : Nauka, 1959. - S. 302-303, 309-310. — 456 págs.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 202-203.
↑ Paplauskas A. B. Período pre-newtoniano de desarrollo de series infinitas. Parte I // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka, 1973. - Edición. XVIII . - S. 104-131 .
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 275.
↑ 1 2 3 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 158-166.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 231.
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 246-247.
↑ Paplauskas A. B. Serie trigonométrica. De Euler a Lebesgue. - M. : Nauka, 1966. - S. 26-27. — 277 pág.
↑ 1 2 Serie trigonométrica // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 5.

Literatura

Vilenkin N. Ya. , Tsukerman V. V., Dobrokhotova M. A., Safonov A. N. Filas. - M. : Educación, 1982. - 160 p.
Vorobyov N. N. Teoría de la serie. - 4ª ed. — M .: Nauka, 1979. — 408 p.
Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas superiores. - 12ª ed. - M. : Nauka, 1977. - 872 p.
Zorich V. A. Capítulo III. Límite. § 1. Límite de secuencia// Análisis matemático, parte I. -M.: Nauka, 1981. - P. 104-114. — 544 pág.
Historia de las matemáticas. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era // Historia de las Matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I.
Matemáticas del siglo XVII // Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
Pismenny D.T. Parte 2 // Apuntes de clase sobre matemáticas superiores. - 6ª ed. - M. : Iris-press, 2008.
Serie // Enciclopedia Matemática (en 5 tomos). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 1063-1070.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, en tres volúmenes. - 6ª ed. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 680 p.

Enlaces

Savelyeva R. Yu. Matemáticas superiores. Teoría de filas .

diccionarios y enciclopedias

gran ruso
Brockhaus y Efron
alrededor del mundo
Pequeño Brockhaus y Efron

En catálogos bibliográficos
BNE : XX526931 BNF : 11933261z TIERRA : 4049197-3 J9U : 987007531747905171 LCCN : sh85120237 NDL : 00567344 NKC : ph128240

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich