Estimación asintóticamente normal

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Una estimación asintóticamente normal es, en estadística matemática , una estimación cuya distribución tiende a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

Definición

Sea una muestra de la distribución en función del parámetro . $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ $\mathbb {P}_{\theta}$ $\theta \en \theta$

Se dice que una estimación puntual es asintóticamente normal con varianza si ${\ sombrero {\ theta))$ ${\ estilo de visualización \ sigma \ ^ {2} (\ theta)}$

{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z

por distribución en ,

n\to\infty

donde es una variable aleatoria normal . $Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)$

Nota

De manera equivalente, una estimación es asintóticamente normal si ${\ sombrero {\ theta))$

{\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )))\to {\tilde {Z}}

por distribución en ,

n\to\infty

donde _ ${\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)$

Propiedades

La estimación asintóticamente normal es consistente . ${\ sombrero {\ theta))$
Cuando se cumplen especificaciones suficientemente generales, la estimación del método de momentos es asintóticamente normal.

Ejemplos

Sea una muestra de una distribución uniforme continua , donde . Dejar $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]$ $\ theta > 0$

{\sombrero {\theta}}_{1}=2{\bar {X}}

donde es la media muestral y ${\bar {X}}$

{\displaystyle {\sombrero {\theta}}_{2}=X_{(n)))

donde _ Entonces el estimador es asintóticamente normal con varianza , pero el estimador no es asintóticamente normal. $X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots,X_{n})$ ${\sombrero {\theta}}_{1}$ ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} (\ theta) = \ theta ^ {2}/3}$ ${\sombrero {\theta}}_{2}$