Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

El teorema de Lagrange en teoría de grupos dice:

Sea finito el grupo G y H su subgrupo . Entonces el orden de G es igual al orden de H multiplicado por el número de sus clases laterales izquierda o derecha ( índice de subgrupo ).

Consecuencias

  1. El número de clases laterales derecha e izquierda de cualquier subgrupo en es el mismo y se denomina índice del subgrupo en (denotado ).
  2. El orden de cualquier subgrupo de un grupo finito divide el orden .
  3. Dado que el orden de un elemento de grupo es igual al orden del subgrupo cíclico formado por este elemento, se sigue que el orden de cualquier elemento de un grupo finito divide al orden de . Este corolario generaliza el teorema de Euler y el pequeño teorema de Fermat en teoría de números .
  4. El grupo de orden , donde es un número primo , es cíclico. (Debido a que el orden de un elemento que no sea uno no puede ser igual a 1, todos los elementos excepto uno tienen orden , lo que significa que cada uno de ellos genera un grupo).

Historia

Un caso especial importante de este teorema fue demostrado por Lagrange en 1771 en relación con investigaciones sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales . Fue mucho antes de la definición del grupo que Lagrange estaba investigando el grupo de permutaciones . La formulación moderna incluye la formulación original del teorema de Lagrange como ejemplo.

Véase también