Atractor de Rössler

El atractor de Rössler es un atractor caótico que tiene el sistema de ecuaciones diferenciales de Rössler [1] :

$\left\{{\begin{matriz}{\frac {dx}{dt}}=-yz\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz} {dt}}=b+z(xc)\end{matriz}}\right.$ ;

donde son constantes positivas. Para los valores de los parámetros y , las ecuaciones de Rössler tienen un ciclo límite estable . Con estos valores de los parámetros, se produce una cascada de duplicación de periodos en el sistema . En , surge un atractor caótico . Las líneas bien definidas de ciclos límite se desdibujan y llenan el espacio de fase con un conjunto infinito de trayectorias que tienen las propiedades de un fractal . ${\ estilo de visualización a, b, c}$ ${\ estilo de visualización a = b = 0,2}$ $2.6\leq c\leq 4.2$ ${\ estilo de visualización c> 4.2}$

El propio Rössler estudió el sistema con constantes , y , pero los valores , y también se utilizan a menudo [2] . ${\ estilo de visualización a = 0,2}$ ${\ estilo de visualización b = 0,2}$ ${\ estilo de visualización c = 5,7}$ ${\ estilo de visualización a = 0,1}$ ${\ estilo de visualización b = 0,1}$ ${\ estilo de visualización c = 14}$

Análisis del comportamiento del sistema en el plano

Dos de las ecuaciones del sistema de Rössler son lineales. Cuando toman la forma ${\ estilo de visualización z = 0}$

$\left\{{\begin{matriz}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matriz}}\right .$

Por tanto, la estabilidad del movimiento en el plano está determinada por los valores propios de la matriz de Jacobi , que son iguales a . ${\ estilo de visualización z = 0}$ ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}$ ${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Conclusión

Encontremos los valores propios de la matriz

${\begin{pmatrix}0-\lambda &-1\\1&a-\lambda \\\end{pmatrix))$ .

El determinante es , por lo tanto $-\lambda a+{\lambda }^{2}+1=0$

$\lambda_{1,2}={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}$

Cuando , los autovalores tienen parte real positiva y son complejos conjugados. Por lo tanto, las trayectorias de fase divergen del origen en una espiral. Ahora analicemos el cambio de coordenadas , contando . Mientras sea menor que , el factor en la ecuación mantendrá la trayectoria casi plana . Tan pronto como sea más grande , la coordenada comenzará a crecer. A su vez, un gran parámetro comenzará a frenar el crecimiento de . ${\ estilo de visualización 0 <a <2}$ $z$ ${\ estilo de visualización 0 <a <2}$ $X$ $C$ $xc$ ${\ Displaystyle {\ frac {dz} {dt}}}$ $x, y$ $X$ $C$ $z$ ${\ estilo de visualización -z}$ $X$ ${\frac{dx}{dt))$

Puntos fijos

Las ecuaciones para puntos fijos se pueden encontrar igualando a cero las derivadas en el sistema de ecuaciones de Rössler. Como resultado, resulta que hay dos puntos fijos:

\left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab)) {2a)),{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)

\left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2)),{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab)) {2a)),{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab))}{2a))\right)

Como puede ver en la imagen de proyección del atractor de Rössler arriba, uno de estos puntos está ubicado en el centro de la espiral del atractor y el otro está lejos de él.

Cambio de parámetros a, b y c

El comportamiento del atractor de Rössler depende fuertemente de los valores de los parámetros constantes. Un cambio en cada parámetro tiene un cierto efecto, como resultado del cual puede aparecer un punto fijo estable en el sistema, un ciclo límite, o las soluciones del sistema "se escaparán" hasta el infinito.

Los diagramas de bifurcación son una herramienta estándar para analizar el comportamiento de los sistemas dinámicos, incluido el atractor de Rössler. Se crean resolviendo las ecuaciones de un sistema donde dos variables son fijas y una cambia. Al construir un diagrama de este tipo, se obtienen regiones casi completamente "sombreadas"; este es el reino del caos dinámico.

Cambiando el parámetro a

Arreglamos y cambiaremos . ${\ estilo de visualización b = 0,2}$ ${\ estilo de visualización c = 5,7}$ $a$

Como resultado, empíricamente, obtenemos la siguiente tabla:

$a\leq 0$ : Convergiendo a un punto estable.
${\ estilo de visualización a = 0,1}$ : Girando con un período de 2.
${\ estilo de visualización a = 0,2}$ : Caos (parámetro estándar de las ecuaciones de Rössler) .
${\ estilo de visualización a = 0,3}$ : Atractor caótico.
${\ estilo de visualización a = 0,35}$ : Similar al anterior, pero el caos es más pronunciado.
${\ estilo de visualización a = 0,38}$ : Similar al anterior, pero el caos es aún más fuerte.

Cambiando el parámetro b

Arreglamos , y ahora cambiaremos el parámetro . Como se puede ver en la figura, como el atractor tiende a cero, es inestable. Cuando se vuelve más grande y , el sistema se equilibrará y entrará en un estado estacionario. ${\ estilo de visualización a = 0,2}$ ${\ estilo de visualización c = 5,7}$ $b$ $b$ $b$ $a$ $C$

Cambiando el parámetro c

Arreglar y cambiar . Se puede ver en el diagrama de bifurcación que, en valores pequeños , el sistema es periódico, pero a medida que aumenta, rápidamente se vuelve caótico. Las figuras muestran exactamente cómo cambia la aleatoriedad del sistema al aumentar . Por ejemplo, en = 4, el atractor tendrá un período igual a uno, y habrá una sola línea en el diagrama, lo mismo ocurrirá cuando = 3, y así sucesivamente; hasta que se convierte en más de 12: el último comportamiento periódico se caracteriza por este valor, luego el caos se extiende por todas partes. ${\ estilo de visualización a = b = 0,1}$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$

Damos ilustraciones del comportamiento del atractor en el rango de valores indicado , que ilustran el comportamiento general de tales sistemas: transiciones frecuentes de la periodicidad al caos dinámico. $C$

Véase también

Atractor de Lorentz

Notas

↑ Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), 12.3 The Rössler Attractor, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science , Springer, p. 636–646 .
↑ Letellier, C.; V. Mensajero. Influencias en el primer artículo de Otto E. Rössler sobre el caos // International Journal of Bifurcation & Chaos : diario. - 2010. - Vol. 20 , núm. 11 _ - Pág. 3585-3616 .

Enlaces

Animación flash
OE ROSSLER - UNA ECUACIÓN PARA EL CAOS CONTINUO (enlace no disponible)
Animación en Java de los atractores de Rössler y Lorenz Archivado el 11 de marzo de 2008
Constructor de atractores para MacOS
Atractor de Rössler en Scholarpedia.org

Literatura

Voronov V.K., Podoplelov A.V. Física moderna: libro de texto. M., KomKniga, 2005, 512 págs., ISBN 5-484-00058-0 , cap. 2 Física de sistemas abiertos. pp 2.4 El atractor caótico de Rössler.