Cuadrilátero inscrito-circunscrito

Un cuadrilátero inscrito-circunscrito es un cuadrilátero convexo que tiene tanto un círculo inscrito como un círculo circunscrito . De la definición se deduce que los cuadriláteros inscritos-circunscritos tienen todas las propiedades tanto de los cuadriláteros circunscritos como de los cuadriláteros inscritos . Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero acorde-tangente [1] y cuadrilátero bicéntrico . También se les llama cuadriláteros de dos círculos [2] .

Si dos círculos, uno dentro del otro, son el círculo inscrito y el círculo circunscrito de algún cuadrilátero, entonces cualquier punto en el círculo circunscrito es el vértice de algún (posiblemente diferente) cuadrilátero inscrito que tiene los mismos círculos inscritos y circunscritos [3] . Esta es una consecuencia del porismo de Poncelet , que fue demostrado por el matemático francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Ocasiones especiales

Ejemplos de cuadriláteros inscritos-circunscritos son cuadrados , deltoides rectangulares y trapecios isósceles circunscritos .

Descripción

Un cuadrilátero convexo ABCD con lados a , b , c , d es bicéntrico si y solo si los lados opuestos satisfacen el teorema de Pitot para cuadriláteros circunscritos y la propiedad de los cuadriláteros inscritos de que los ángulos opuestos suman 180 grados, es decir

{\begin{casos}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{casos))

Otras tres descripciones se refieren a los puntos donde el círculo inscrito en el cuadrilátero circunscrito toca los lados. Si una circunferencia inscrita es tangente a los lados AB , BC , CD y DA en los puntos W , X , Y y Z respectivamente, entonces el cuadrilátero circunscrito ABCD también está circunscrito si y solo si se cumple alguna de las tres condiciones siguientes [4] :

El segmento WY es perpendicular a XZ
${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
${\frac{AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

La primera de estas tres condiciones significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal .

Si E , F , G , H son los puntos medios de WX , XY , YZ , ZW respectivamente, entonces un cuadrilátero circunscrito ABCD también está circunscrito si y solo si el cuadrilátero EFGH es un rectángulo [4] .

De acuerdo con otra descripción, si I es el centro del círculo inscrito de un cuadrilátero inscrito cuyas extensiones de lados opuestos se cortan en J y K , entonces el cuadrilátero está circunscrito si y solo si JIK es un ángulo recto [4] .

Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero circunscrito ABCD sea circunscrito si y sólo si su recta gaussiana es perpendicular a la recta gaussiana de su cuadrilátero de contacto WXYZ . (La línea gaussiana de un cuadrilátero está determinada por los puntos medios de sus diagonales). [4]

Edificio

Hay un método simple para construir un cuadrilátero bicéntrico:

La construcción comienza con un círculo inscrito C r con centro I y radio r , luego se dibujan dos cuerdas perpendiculares entre sí WY y XZ en el círculo inscrito C r . En los extremos de las cuerdas , trazamos las tangentes a , b , c y d a la circunferencia inscrita. Se cortan en los puntos A, B, C y D , que son los vértices del cuadrilátero inscrito-circunscrito [5] . Para dibujar el círculo circunscrito, dibuje dos perpendiculares mediales p 1 y p 2 a los lados del cuadrilátero inscrito-circunscrito a y b respectivamente. Se cortan en el centro O de la circunferencia circunscrita C R a una distancia x del centro I de la circunferencia inscrita C r .

La validez de esta construcción se deriva del hecho de que en el cuadrilátero circunscrito ABCD el cuadrilátero de contacto WXYZ tiene diagonales perpendiculares si y sólo si el cuadrilátero circunscrito es también inscrito .

Área

Fórmulas en términos de cuatro cantidades

El área K de un cuadrilátero inscrito-circunscrito se puede expresar en términos de las cuatro dimensiones del cuadrilátero de varias maneras. Si a , b , c y d son lados, entonces el área está dada por [3] [6] [7] [8] [9]

{\ estilo de visualización \ estilo de visualización K = {\ sqrt {abcd}}.}

Este es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta . La fórmula también se puede obtener directamente de la fórmula trigonométrica del área del cuadrilátero circunscrito . Tenga en cuenta que lo contrario no se cumple: algunos cuadriláteros que no son bicéntricos también tienen área [10] . Un ejemplo de tal cuadrilátero es un rectángulo (con diferentes lados, no un cuadrado). ${\ estilo de visualización \ estilo de visualización K = {\ sqrt {abcd}}.}$

El área se puede expresar en términos de segmentos desde el vértice hasta el punto de contacto (por brevedad, llamaremos a estas longitudes longitudes tangentes) e , f , g , h [11]

K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).

La fórmula para el área del cuadrilátero ABCD inscrito-circunscrito con el centro del círculo inscrito I [7]

K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Si un cuadrilátero inscrito-circunscrito tiene cuerdas tangentes k , l y diagonales p , q , entonces tiene área [12]

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Si k , l son cuerdas tangentes y m , n son bimedianas cuadriláteras , entonces el área se puede calcular usando la fórmula [7] .

K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

La fórmula no se puede usar si el cuadrilátero es un deltoides derecho , porque en este caso el denominador es cero.

Si M y N son los puntos medios de las diagonales, y E y F son los puntos de intersección de la prolongación de los lados, entonces el área del cuadrilátero inscrito viene dada por

K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}

donde I es el centro de la circunferencia inscrita [7] .

Fórmulas en términos de tres cantidades

El área de un cuadrilátero inscrito-circunscrito se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales según la fórmula [7]

K=ac\mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}=bd\mathrm {ctg} \,{\frac {\theta }{2}}.

En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo inscrito, el área viene dada por la fórmula [7]

K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).

El área se da en términos del radio R del círculo circunscrito y el radio r del círculo inscrito como

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})\sin \theta

donde θ es cualquiera de los ángulos entre las diagonales [13] .

Si M y N son los puntos medios de las diagonales, y E y F son los puntos de intersección de las extensiones de los lados opuestos, el área se puede expresar mediante la fórmula

K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}

donde Q es la base de la perpendicular a la línea EF desde el centro del círculo inscrito [7] .

Desigualdades

Si r y R son el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita, respectivamente, entonces el área K satisface la doble desigualdad [14]

\displaystyle 4r^{2}\leqslant K\leqslant 2R^{2}.

Obtenemos la igualdad solo si el cuadrilátero es un cuadrado .

Otra desigualdad para el área sería [15] :p.39,#1203

{\displaystyle K\leqslant {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

donde r y R son el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita, respectivamente.

Una desigualdad similar que da un mejor límite superior en el área que el anterior [13]

K\leqslant r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})

y la igualdad se logra si y solo si el cuadrilátero es un deltoides derecho .

Además, con lados a, b, c, d y semiperímetro s :

2{\sqrt {K}}\leqslant qs\leqslant r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};

[15] :p.39,#1203

6K\leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd\leqslant 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2))};

[15] :p.39,#1203

4Kr^{2}\leqslant abcd\leqslant {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).

[15] :p.39,#1203

Fórmulas de ángulos

Si a , b , c y d son las longitudes de los lados AB , BC , CD y DA respectivamente en el cuadrilátero inscrito-circunscrito ABCD , entonces sus ángulos de vértice se pueden calcular usando la tangente [7] :

\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {C}{ 2}},

\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {D}{ 2}}.

Usando la misma notación, se cumplen las siguientes fórmulas para senos y cosenos [16] :

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},

\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.

El ángulo θ entre las diagonales se puede calcular a partir de la fórmula [8] .

\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

El radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita

El radio de la circunferencia inscrita r del cuadrilátero inscrito-circunscrito está determinado por los lados a , b , c , d según la fórmula [3]

\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.

El radio del círculo circunscrito R es un caso especial de la fórmula de Paramesvara [3]

\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.

El radio del círculo inscrito también se puede expresar en términos de longitudes tangentes sucesivas e , f , g , h según la fórmula [17] .

\displaystyle r={\sqrt {por ejemplo}}={\sqrt {fh}}.

Estas dos fórmulas son, de hecho, condiciones necesarias y suficientes para que se inscriba un cuadrilátero circunscrito de radio r en el círculo .

Los cuatro lados a , b , c , d del cuadrilátero inscrito-circunscrito son soluciones de la ecuación de cuarto grado

y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))})y^{ 2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0

donde s es el semiperímetro y r y R son el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita, respectivamente [18] .

Si hay un cuadrilátero inscrito-circunscrito con un círculo inscrito de radio r , cuyas tangentes son iguales a e , f , g , h , entonces hay un cuadrilátero inscrito-circunscrito con un círculo inscrito de radio r v , cuyas tangentes son , donde v puede ser cualquier número real [ 19] . ${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v))$

Un cuadrilátero inscrito-circunscrito tiene un radio de circunferencia más grande que cualquier otro cuadrilátero circunscrito que tenga las mismas longitudes de lado en la misma secuencia [20] .

Desigualdades

El radio de la circunferencia circunscrita R y el radio de la circunferencia inscrita r satisfacen la desigualdad

R\geqslant {\sqrt {2}}r

lo cual fue probado por L. Fejes Toth en 1948 [21] . Una desigualdad se convierte en igualdad solo si los dos círculos son concéntricos (los centros son iguales). En este caso, el cuadrilátero es un cuadrado . La desigualdad se puede probar de varias maneras diferentes, una de las formas es usando la doble desigualdad para el área de arriba.

Una generalización de la desigualdad anterior es [2] [22] .

{\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leqslant {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos { \frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos { \frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leqslant 1

donde la desigualdad se convierte en igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado [23] .

El semiperímetro s de un cuadrilátero inscrito-circunscrito satisface [24]

{\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2))}-r\right)}}\leqslant s\leqslant {\sqrt {4R^{2}+ r^{2}}}+r

donde r y R son el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita, respectivamente.

Además, [15] :p.39,#1203

{\displaystyle 2sr^{2}\leqslant abc+abd+acd+bcd\leqslant 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2))})^{2))

abc+abd+acd+bcd\leqslant 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).

[15] :p.62,#1599

La distancia entre el centro de la circunferencia inscrita y el centro de la circunferencia circunscrita

Teorema de Fuss

El teorema de Fuss da una relación entre el radio de la circunferencia r , el radio de la circunferencia circunscrita R y la distancia x entre el centro de la circunferencia I y el centro de la circunferencia circunscrita O , para cualquier cuadrilátero bicéntrico. La conexión viene dada por la fórmula [1] [9] [25] .

{\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}},

O equivalente,

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

La fórmula fue derivada por Nikolai Ivanovich Fuss (1755–1826) en 1792. Resolviendo para x , obtenemos

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

El teorema de Fuss para cuadriláteros inscritos-circunscritos, que es análogo al teorema de Euler para triángulos , establece que si un cuadrilátero es bicéntrico, entonces sus dos círculos asociados están relacionados por la fórmula anterior. De hecho, lo contrario también se cumple: si se dan dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r y la distancia x entre sus centros satisface la condición del teorema de Fuss, hay un cuadrilátero convexo inscrito en uno de los círculos , y el otro círculo estará inscrito en el cuadrilátero [26 ] (y luego, por el teorema de Poncelet , hay infinitos cuadriláteros de este tipo).

Si usamos el hecho de que en la expresión del teorema de Fuss obtenemos la desigualdad ya mencionada de otra manera, la generalización de la desigualdad es [27] $x^{2}\geqslant0$ $R\geqslant {\sqrt {2}}r.$

2r^{2}+x^{2}\leqslant R^{2}\leqslant 2r^{2}+x^{2}+2rx.

Identidad Karlitz

Otra fórmula para la distancia x entre los centros del círculo inscrito y el círculo circunscrito se debe al matemático estadounidense Leonard Karlitz (1907–1999). La fórmula establece que [28] .

{\ estilo de pantalla \ estilo de pantalla x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu}

donde r y R son el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita , respectivamente, y

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)))}={\sqrt {\ fracción {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

donde a , b , c , d son los lados del cuadrilátero inscrito-circunscrito.

Desigualdades para longitudes de tangentes y lados

Para longitudes tangentes e , f , g , h se cumplen las siguientes desigualdades [29] :

{\displaystyle 4r\leqslant e+f+g+h\leqslant 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

4r^{2}\leqslant e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leqslant 4(R^{2}+x^{2}-r ^{2})

donde r es el radio de la circunferencia inscrita, R es el radio de la circunferencia circunscrita y x es la distancia entre los centros de estas circunferencias. Los lados a , b , c , d satisfacen las desigualdades [27]

{\displaystyle 8r\leqslant a+b+c+d\leqslant 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leqslant 4(3R^{2}-2r^{2}).

Otras propiedades del centro de una circunferencia inscrita

El centro de la circunferencia circunscrita , el centro de la circunferencia inscrita y el punto de intersección de las diagonales en el cuadrilátero inscrito-circunscrito son colineales . [treinta]

Existe la siguiente igualdad respecto a las cuatro distancias entre el centro de la circunferencia inscrita I y los vértices del cuadrilátero bicéntrico ABCD : [31]

{\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\ fracción {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

donde r es el radio de la circunferencia inscrita.

Si el punto P es la intersección de las diagonales del cuadrilátero inscrito ABCD con el centro de la circunferencia inscrita I , entonces [32]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.

Existe una desigualdad para el radio r de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita R en el cuadrilátero inscrito-circunscrito ABCD [33]

{\displaystyle 4r^{2}\leqslant AI\cdot CI+BI\cdot DI\leqslant 2R^{2))

donde I es el centro de la circunferencia inscrita.

Propiedades de las diagonales

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero inscrito-circunscrito se pueden expresar en términos de longitudes de lados o tangentes . Estas fórmulas son válidas para cuadriláteros inscritos y cuadriláteros circunscritos , respectivamente.

En un cuadrilátero inscrito-circunscrito con diagonales p y q , la identidad [34] es verdadera :

\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1

donde r y R son el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita , respectivamente. Esta identidad se puede reescribir como [13]

r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}

o, resolviéndola como una ecuación cuadrática con respecto al producto de las diagonales, obtenemos

pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).

Existe una desigualdad para el producto de las diagonales p , q en un cuadrilátero inscrito-circunscrito [14]

{\displaystyle \displaystyle 8pq\leqslant (a+b+c+d)^{2))

donde a , b , c , d son lados. La desigualdad fue probada por Murray S. Klumkin en 1967.

Véase también

Polígono inscrito-circunscrito
Cuadrilátero no circunscrito

Notas

↑ 1 2 Dörrie, 1965 , pág. 188–193.
↑ 12 Yun , 2008 , pág. 119-121.
↑ 1 2 3 4 Eric Weisstein, Cuadrilátero bicéntrico en MathWorld , [1] Archivado el 23 de enero de 2019 en Wayback Machine , consultado el 13 de agosto de 2011.
↑ 1 2 3 4 Josefsson, 2010 , pág. 165–173.
↑ Alsina, Nelsen, 2011 , p. 125–126.
↑ Josefsson, 2010 , pág. 129.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Josefsson, 2011 , pág. 155–164.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , pág. 28, 30.
↑ 12 Yiu , 1998 , pág. 158-164.
↑ Señor, 2012 , pág. 345-347.
↑ Josefsson, 2010 , pág. 128.
↑ Josefsson, 2010a , pág. 129.
↑ 1 2 3 Josefsson, 2012 , pág. 237–241.
↑ 1 2 Alsina, Nelsen, 2009 , p. 64–66.
↑ 1 2 3 4 5 6 Desigualdades propuestas en Crux Mathematicorum , 2007. [2] Archivado el 27 de abril de 2021 en Wayback Machine .
↑ Josefsson, 2012 , pág. 79–82.
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , pág. 41.
↑ Pop, 2009 , pág. 754.
↑ Radic, 2005 , pág. 9-10.
↑ Hess, 2014 , pág. 392–393.
↑ Radic, 2005 .
↑ Shattuck, 2018 , pág. 141.
↑ Josefsson, 2012 , pág. 81.
↑ Radic, 2005 , pág. 13
↑ Salazar, 2006 , pág. 306–307.
↑ Byerly, 1909 , pág. 123–128.
↑ 1 2 Radic, 2005 , p. 5.
↑ Calín, 2010 , pág. 153–158.
↑ Radic, 2005 , pág. 3.
↑ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [3] Archivado el 26 de abril de 2004 en Wayback Machine , 2004.
↑ Juan Carlos Salazar, Teorema de Fuss para el cuadrilátero bicéntrico , 2003, [4] .
↑ Crux Mathematicorum 34 (2008) no 4, p. 242.
↑ Publicación en El arte de resolver problemas , 2009
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