Semiperímetro
El semiperímetro de un polígono es la mitad de su perímetro . Aunque el semiperímetro es una derivada muy simple del perímetro, aparece con tanta frecuencia en fórmulas para triángulos y otras figuras geométricas que se le ha dado un nombre aparte. Si el semiperímetro aparece en alguna fórmula, generalmente se denota con la letra p .
Triángulos
El semiperímetro se usa más comúnmente para triángulos. Fórmula del semiperímetro para un triángulo con lados a , b y c
Propiedades
En cualquier triángulo, el vértice y el punto tangente de la excircunferencia del lado opuesto dividen el perímetro del triángulo en dos partes iguales, es decir, en dos caminos, cada uno de los cuales mide medio perímetro. La figura muestra los lados A, B, C y los puntos de contacto A', B', C' , luego
Tres segmentos que conectan vértices con puntos de contacto opuestos se cruzan en un punto: el punto de Nagel .
Si consideramos los segmentos que conectan los puntos medios de los lados con puntos separados (a lo largo de los lados) de este punto medio por medio perímetro, entonces estos segmentos se cruzan en un punto: el centro del círculo de Spieker , que es un círculo inscrito en la mediana triángulo . El centro de Spieker es el baricentro de los lados del triángulo.
Una recta que pasa por el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo biseca el perímetro si y solo si biseca el área.
El semiperímetro de un triángulo es igual al perímetro de su triángulo mediano .
La desigualdad del triángulo implica que la longitud del lado más largo de un triángulo no excede la mitad del perímetro.
Fórmulas con semiperímetro
El área K de cualquier triángulo es el producto del radio de su circunferencia y el semiperímetro:
El área de un triángulo se puede calcular en base a su semiperímetro y las longitudes de los lados a, b, c usando la fórmula de Heron :
El radio del círculo circunscrito R de un triángulo también se puede calcular a partir de su semiperímetro y las longitudes de los lados:
Esta fórmula se puede derivar del teorema del seno .
El radio de la circunferencia inscrita es
El teorema de la cotangente da las cotangentes de la mitad de los ángulos en los vértices de un triángulo en términos del semiperímetro, los lados y el radio del círculo.
La longitud de la bisectriz del ángulo interior opuesto al lado a es [1]
En un triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia excéntrica en la hipotenusa es la mitad del perímetro. El semiperímetro es igual a la suma del radio de la circunferencia inscrita y el doble del radio de la circunferencia circunscrita. El área de un triángulo rectángulo es , donde a y b son catetos.
Cuadrángulos
Fórmula del semiperímetro de un cuadrilátero de lados a , b , c y d
Una de las fórmulas para triángulos, utilizando un semiperímetro, también se aplica a los cuadriláteros circunscritos , que tienen un círculo inscrito y la suma de las longitudes de los lados opuestos es igual al semiperímetro. A saber, esta es la fórmula para el área de una figura:
La forma más simple de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero inscrito en un círculo es similar a la fórmula de Heron para el área de un triángulo:
La relación de Bretschneider generaliza la fórmula para todos los cuadriláteros convexos :
donde y son dos ángulos opuestos.
Los cuatro lados del cuadrilátero bicentral son las cuatro soluciones de una ecuación de cuarto grado cuyos parámetros son el semiperímetro, el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita.
Polígonos regulares
El área de un polígono regular convexo es igual al producto de su semiperímetro y la distancia del centro a uno de los lados.
Notas
- ↑ Johnson, 2007 , pág. 70.
Literatura
- Roger A. Johnson. Geometría euclidiana avanzada. - Dover Publ., 2007. (Reimpresión del libro de 1929)
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Semiperimeter (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .