Deltoides rectangular

Un deltoides en ángulo recto es un deltoides ( un cuadrilátero cuyos lados se pueden agrupar en dos pares de lados adyacentes de la misma longitud) que se puede inscribir en un círculo [1] . Es decir, es un deltoides con un círculo circunscrito ( deltoides inscrito ). Entonces un deltoides rectangular es un cuadrilátero convexo y tiene dos ángulos rectos opuestos [2] .

Círculo inscrito

Todos los deltoides en ángulo recto son cuadriláteros incircunferenciales (que tienen un circuncírculo y un incircunferencia) porque todos los deltoides tienen un incircunferencia . Una de las diagonales (que sirve como eje de simetría ) divide el deltoides recto en dos triángulos rectángulos y es también el diámetro del círculo circunscrito.

En un cuadrilátero circunscrito (es decir, uno con un círculo inscrito), los cuatro segmentos de línea entre el centro del círculo inscrito y los puntos tangentes del cuadrilátero dividen el cuadrilátero en cuatro deltoides rectangulares.

Caso especial

Un caso especial de deltoides rectangulares son los cuadrados , donde las diagonales tienen la misma longitud y los círculos inscritos y circunscritos son concéntricos .

Descripción

Un deltoides es un deltoides derecho si y solo si tiene un círculo circunscrito (por definición). Esto es equivalente a un deltoides que tiene dos ángulos rectos opuestos.

Fórmulas

Dado que un deltoides recto se puede dividir en dos triángulos rectángulos, las siguientes fórmulas se derivan fácilmente de las conocidas propiedades de los triángulos rectángulos. En el deltoides de ángulo recto ABCD , donde dos ángulos opuestos B y D son ángulos rectos, los otros dos ángulos se pueden calcular a partir de

\tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b }}

donde a = AB = AD y b = BC = CD . El área de un deltoides rectangular es

{\ estilo de visualización \ estilo de visualización K = ab.}

La diagonal AC , que es el eje de simetría, tiene una longitud

{\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2))))

y dado que las diagonales son perpendiculares (por lo que un deltoides derecho es un cuadrilátero ortodiagonal con área ), la otra diagonal BD tiene una longitud $K={\frac{pq}{2))$

q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))).

El radio de la circunferencia circunscrita es (según el teorema de Pitágoras )

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

y, dado que todos los deltoides están circunscritos , el radio del círculo inscrito viene dado por

r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}

donde s es el semiperímetro.

El área se da en términos del radio R del círculo circunscrito y el radio r del círculo inscrito como [3] .

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).

Si denotamos los segmentos en las diagonales desde el punto de intersección hasta los vértices en el sentido de las manecillas del reloj por , entonces ${\ estilo de visualización d_{1},d_{2},d_{3},d_{4))$

{\displaystyle d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4))

Esta es una consecuencia directa del teorema de la media geométrica .

Dualidad

El polígono dual para un deltoides rectangular es un trapecio isósceles [1] .

Definición alternativa

A veces, un deltoides rectangular se define como un deltoides con al menos un ángulo recto [4] . Si solo hay un ángulo recto, debe estar entre dos lados de igual longitud. En este caso, las fórmulas anteriores no funcionan.

Notas

↑ 1 2 de Villiers, 2009 , p. 154, 206.
↑ de Villiers, 1994 , p. 11–18.
↑ Josefsson, 2012 , pág. 237–24.
↑ 1728 Software Systems, Kite Calculator , consultado el 8 de octubre de 2012 . Consultado el 29 de marzo de 2019. Archivado desde el original el 6 de septiembre de 2021. (indefinido)

Literatura

Michael de Villiers. Algunas aventuras en la geometría euclidiana. - Key Curriculum Press, 2009. - ISBN 978-0-557-10295-2 .
Michael de Villiers. El papel y función de una clasificación jerárquica de cuadriláteros // Para el Aprendizaje de las Matemáticas. - 1994. - T. 14 , núm. 1 . — .
Martín Josephson. Área Máxima de un Cuadrilátero Bicéntrico // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — S. 237–241 .