Cuadrilátero circunscrito

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En geometría euclidiana, un cuadrilátero circunscrito es un cuadrilátero convexo cuyos lados son tangentes a un solo círculo dentro del cuadrilátero. Este círculo se llama círculo inscrito . Los cuadriláteros circunscritos son un caso especial de los polígonos circunscritos .

Todos los triángulos tienen círculos inscritos, pero no todos los cuadriláteros. Un ejemplo de cuadrilátero en el que no se puede inscribir un círculo es un rectángulo que no es un cuadrado. La sección "Propiedades" a continuación brinda las condiciones necesarias y suficientes para que se circunscriba un cuadrilátero.

Ocasiones especiales

Ejemplos de cuadriláteros descritos son los deltoides , que incluyen rombos , que a su vez incluyen cuadrados . Los deltoides son exactamente esos cuadriláteros circunscritos que también son ortodiagonales [1] . Si un cuadrilátero es un cuadrilátero circunscrito e inscrito , se llama bicentral .

Propiedades

En el cuadrilátero descrito, cuatro bisectrices se cortan en el centro del círculo. Por el contrario, un cuadrilátero convexo en el que cuatro bisectrices se cortan en un punto debe estar circunscrito, y el punto de intersección de las bisectrices es el centro de la circunferencia inscrita [2] .

Según el teorema de Pitot , dos pares de lados opuestos en el cuadrilátero circunscrito suman el mismo número, que es igual al semiperímetro s del cuadrilátero:

a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.

Por el contrario, un cuadrilátero en el que a + c = b + d debe estar circunscrito. [3] [4] [2]

Si los lados opuestos en un cuadrilátero convexo ABCD (que no es un trapezoide ) se cortan en los puntos E y F , entonces son tangentes al círculo si y solo si [2]

{\ estilo de visualización \ estilo de visualización BE + BF = DE + DF}

{\ estilo de visualización \ estilo de visualización AE-EC = AF-FC.}

La segunda igualdad es casi la misma que la igualdad en el teorema de Urquhart . La diferencia está solo en los signos: en el teorema de Urquhart, las sumas y aquí las diferencias (ver la figura a la derecha).

Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero convexo ABCD esté circunscrito si y sólo si las circunferencias inscritas en los triángulos ABC y ADC se tocan [5] .

La descripción de los ángulos formados por la diagonal BD con los lados del cuadrilátero ABCD pertenece a Iosifescu. Demostró en 1954 que un cuadrilátero convexo tiene un círculo inscrito si y solo si [6]

\tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\ángulo DBC}{2)).

Además, un cuadrilátero convexo con lados a , b , c , d está circunscrito si y solo si

{\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d))

donde R a , R b , R c , R d son los radios de los círculos externamente tangentes a los lados a , b , c , d respectivamente y las extensiones de los lados adyacentes en cada lado [7] .

Se conocen algunas otras descripciones de los cuatro triángulos formados por las diagonales.

Segmentos especiales

Los ocho segmentos tangentes del cuadrilátero circunscrito son los segmentos entre los vértices y los puntos tangentes a los lados. Cada vértice tiene dos segmentos tangentes iguales .

Los puntos de contacto forman un cuadrilátero inscrito.

Área

Fórmulas no trigonométricas

El área K de un cuadrilátero tangente viene dada por

S=r\cdot p

donde p es el semiperímetro y r es el radio de la circunferencia inscrita . Otra fórmula [8]

{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2))))

dando el área en términos de las diagonales p , q y los lados a , b , c , d del cuadrilátero tangente.

El área también se puede representar en términos de segmentos tangentes (ver arriba). Si se denotan por e , f , g , h , entonces el cuadrilátero tangente tiene área [1]

S={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))).

Además, el área de un cuadrilátero tangente se puede expresar en términos de los lados a, b, c, d y las longitudes correspondientes de los segmentos tangentes e, f, g, h [9]

S={\sqrt {abcd-(p. ej.-fh)^{2))}.

Dado que eg = fh si y solo si también está inscrito, [10] obtenemos que el área máxima se puede alcanzar solo en cuadriláteros que están circunscritos e inscritos al mismo tiempo. ${\ estilo de visualización {\ sqrt {abcd))}$

Fórmulas trigonométricas

Fórmula trigonométrica para el área en términos de los lados a , b , c , d y dos lados opuestos [8] [11] [12] [13]

S={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {A+C}{2}}={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

Para un producto de lados dado, el área será máxima cuando el cuadrilátero sea también un inscrito . En este caso , ya que los ángulos opuestos son complementarios . Esto se puede probar de otra manera, usando análisis matemático [14] . $S={\sqrt {abcd))$

Otra fórmula para el área del cuadrilátero circunscrito ABCD usando dos ángulos opuestos [12]

S=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin {\frac {A+C}{2))

donde O es el centro de la circunferencia inscrita.

De hecho, el área se puede expresar en términos de solo dos lados adyacentes y dos ángulos opuestos [8]

S=ab\sin {\frac {B}{2}}\csc {\frac {D}{2}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

Hay otra fórmula [8]

S={\tfrac {1}{2}}|(ac-bd)\tan {\theta }|,

donde θ es el ángulo (cualquiera) entre las diagonales. La fórmula no se aplica al caso de los deltoides, ya que en este caso θ es 90° y la tangente no está definida.

Desigualdades

Como se mencionó al pasar arriba, el área de un polígono tangente con lados a , b , c , d satisface la desigualdad

S\leq {\sqrt {abcd))

y la igualdad se logra si y solo si el cuadrilátero es bicentral .

Según T. A. Ivanova (1976), el semiperímetro p del cuadrilátero circunscrito satisface la desigualdad

p\geq 4r

donde r es el radio de la circunferencia inscrita. La desigualdad se convierte en igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado . [15] Esto significa que para el área S = pr, la desigualdad

{\displaystyle S\geq 4r^{2))

con transición a la igualdad si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Propiedades de las partes de un cuadrilátero

Cuatro segmentos de línea entre el centro del círculo inscrito y los puntos de contacto dividen el cuadrilátero en cuatro deltoides rectangulares .

Si una línea recta divide el cuadrilátero descrito en dos polígonos con áreas iguales y perímetros iguales , entonces esta línea pasa por el incentro [2] .

Radio de un círculo inscrito

El radio de la circunferencia inscrita del cuadrilátero circunscrito de lados a , b , c , d viene dado por la fórmula [8]

r={\frac {S}{p}}={\frac {S}{a+c}}={\frac {S}{b+d}}

donde S es el área del cuadrilátero y p es el semiperímetro. Para cuadriláteros circunscritos con un semiperímetro dado, el radio del círculo inscrito es máximo cuando el cuadrilátero también es inscrito .

En términos de segmentos tangentes, el radio del círculo inscrito [16] [17] .

\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h))}.

El radio del círculo inscrito también se puede expresar en términos de la distancia desde el incentro O hasta los vértices del cuadrilátero circunscrito ABCD . Si u = AO , v = BO , x = CO y y = DO , entonces

r=2{\sqrt {\frac {(\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy) (uy+vx)}}}

donde [18] . $\sigma ={\tfrac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)$

Fórmulas para ángulos

Si e , f , g y h son segmentos de tangentes desde los vértices A , B , C y D respectivamente a los puntos de contacto del círculo por el cuadrilátero ABCD , entonces los ángulos del cuadrilátero se pueden calcular mediante las fórmulas [1 ]

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)))} ,

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)))} ,

\sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)))) ,

\sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)))} .

El ángulo entre las cuerdas KM y LN viene dado por la fórmula [1] (ver figura)

\sin {\varphi }={\sqrt {\frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+ h )(h+e)}}}.

Diagonales

Si e , f , g y h son segmentos de tangentes desde A , B , C y D a los puntos de contacto de la circunferencia inscrita por el cuadrilátero ABCD , entonces las longitudes de las diagonales p = AC y q = BD son iguales [ 19]

\displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )))},

\displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )))}.

Acordes de punto de contacto

Si e , f , g y h son segmentos de vértices a puntos tangentes, entonces las longitudes de cuerdas a puntos tangentes opuestos son [1]

\displaystyle k={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)))},

\displaystyle l={\frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}},

donde la cuerda k conecta los lados con longitudes a = e + f y c = g + h , y la cuerda l conecta los lados con longitudes b = f + g y d = h + e . El cuadrado de la razón de cuerdas satisface la relación [1]

{\frac {k^{2}}{l^{2}}}={\frac {bd}{ac}}.

dos acordes

son perpendiculares si y solo si el cuadrilátero también está inscrito [20] .
tienen la misma longitud si y solo si el cuadrilátero circunscrito es un deltoides [21] .

La cuerda entre los lados AB y CD en el cuadrilátero circunscrito ABCD es más larga que la cuerda entre los lados BC y DA si y solo si la línea media entre los lados AB y CD es más corta que la línea media entre los lados BC y DA [22] .

Si el cuadrilátero circunscrito ABCD tiene puntos tangentes M en AB y N en CD y la cuerda MN corta a la diagonal BD en el punto P , entonces la razón de los segmentos de las tangentes es igual a la razón de los segmentos de la diagonal BD . [23] ${\tfrac{BM}{DN}}$ ${\tfrac{BP}{DP}}$

Puntos colineales

Si M 1 y M 2 son los puntos medios de las diagonales AC y BD , respectivamente, en el cuadrilátero circunscrito ABCD con el centro del círculo inscrito O , y pares de lados opuestos se cortan en los puntos E y F y M 3 es el punto medio de el segmento EF , entonces los puntos M 3 , M 1 , O y M 2 se encuentran en la misma línea [24] La línea que conecta estos puntos se llama la línea de Newton del cuadrilátero.

Si las extensiones de los lados opuestos del cuadrilátero descrito se cortan en los puntos E y F , y las extensiones de los lados opuestos del cuadrilátero formado por los puntos de contacto se cortan en los puntos T y S , entonces los cuatro puntos E , F , T y S se encuentran en la misma línea recta [25]

Si la circunferencia inscrita toca los lados AB , BC , CD , DA en los puntos M , K , N y L respectivamente, y si T M , TK , T N , T L son puntos conjugados isotómicamente de estos puntos (es decir, AT M = BM y etc.), entonces el punto de Nagel se define como la intersección de las líneas T N T M y T K T L . Ambas líneas dividen el perímetro del cuadrilátero en dos partes iguales. Sin embargo, lo que es más importante, el punto Q de Nagel , el "centroide del área" G y el centro del círculo inscrito O se encuentran en la misma línea recta y, por lo tanto, QG = 2 GO . Esta línea se llama la línea de Nagel del cuadrilátero circunscrito [26] .

En el cuadrilátero circunscrito ABCD con círculo inscrito de centro O , en el que las diagonales se cortan en el punto P , sean H M , H K , H N , H L los ortocentros de los triángulos AOB , BOC , COD y DOA respectivamente. Entonces los puntos P , H M , H K , H N y H L se encuentran en la misma línea recta. [12]

Líneas competitivas y perpendiculares

Dos diagonales de un cuadrilátero y dos cuerdas que conectan puntos de contacto opuestos (vértices opuestos de un cuadrilátero inscrito) son contiguos (es decir, se cruzan en un punto). [13] Para mostrar esto, se puede usar un caso especial del teorema de Brianchon , que establece que un hexágono, cuyos lados son tangentes a una sección cónica , tiene tres diagonales que se cortan en un punto. Del cuadrilátero descrito es fácil obtener un hexágono con dos ángulos de 180° insertando dos nuevos vértices en puntos tangentes opuestos. Los seis lados del hexágono resultante son tangentes a la circunferencia inscrita, de modo que sus diagonales se cortan en un punto. Pero dos diagonales del hexágono coinciden con las diagonales del cuadrilátero, y la tercera diagonal pasa por los puntos de contacto opuestos. Repitiendo el mismo razonamiento para los otros dos puntos de contacto, obtenemos el resultado deseado.

Si la circunferencia inscrita toca los lados AB , BC , CD y DA en los puntos M , K , N , L respectivamente, entonces las rectas MK , LN y AC son competitivas. [12]

Si las extensiones de los lados opuestos del cuadrilátero circunscrito se cortan en los puntos E y F , y las diagonales se cortan en el punto P , entonces la línea EF es perpendicular a la extensión OP , donde O es el centro del círculo inscrito [27] .

Propiedades de la circunferencia inscrita

La relación de dos lados opuestos del cuadrilátero circunscrito se puede expresar en términos de las distancias desde el centro del círculo inscrito O a los vértices correspondientes [12]

{\frac {AB}{CD}}={\frac {OA\cdot OB}{OC\cdot OD}),\quad \quad {\frac {BC}{DA}}={\frac { OB\cdot OC}{OD\cdot OA}}.

El producto de dos lados adyacentes del cuadrilátero circunscrito ABCD con el centro de la circunferencia inscrita O satisface la relación [28]

AB\cdot BC=OB^{2}+{\frac {OA\cdot OB\cdot OC}{OD)).

Si O es el centro de la circunferencia inscrita del cuadrilátero ABCD , entonces [12]

OA\cdot OC+OB\cdot OD={\sqrt {AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).

El centro de la circunferencia inscrita O coincide con el "baricentro de los vértices" del cuadrilátero si y sólo si [12]

OA\cdot OC=OB\cdot OD.

Si M 1 y M 2 son los puntos medios de las diagonales AC y BD , respectivamente, entonces [12] [29]

{\frac {OM_{1}}{OM_{2}}}={\frac {OA\cdot OC}{OB\cdot OD}}={\frac {e+g}{f+h} },

donde e , f , g y h son segmentos de tangentes en los vértices A , B , C y D respectivamente. Combinando la primera igualdad con la última, obtenemos que el "baricentro de los vértices" del cuadrilátero circunscrito coincide con el centro de la circunferencia inscrita si y sólo si el centro de la circunferencia inscrita se encuentra a medio camino entre los puntos medios de las diagonales.

Si el mecanismo de cuatro eslabones se hace en forma de cuadrilátero circunscrito, el cuadrilátero permanece circunscrito independientemente de su deformación, siempre que el cuadrilátero permanezca convexo [30] [31] (Por ejemplo, cuando un cuadrado se deforma en un rombo, el cuadrilátero queda circunscrito, aunque el círculo inscrito será más pequeño). Si un lado está fijo durante la deformación, entonces, durante la deformación del cuadrilátero, el centro del círculo inscrito se mueve a lo largo de un círculo de radio , donde a,b,c,d son los lados y s es el semiperímetro. ${\sqrt {abcd}}/s$

Propiedades de los cuatro triángulos interiores

Para los triángulos APB , BPC , CPD , DPA que no se cortan , formados por las diagonales de un cuadrilátero convexo ABCD , donde las diagonales se cortan en el punto P , existen las siguientes propiedades.

Sean r 1 , r 2 , r 3 y r 4 los radios de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente. Chao y Simeonov demostraron que un cuadrilátero está circunscrito si y solo si [32]

{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{3}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1 {r_{4}}}.

Esta propiedad fue probada cinco años antes por Weinstein [33] [34] . Al resolver su problema, Vasiliev y Senderov dieron una propiedad similar. Si h M , h K , h N y h L denotan las alturas de los mismos triángulos (quitados de la intersección de las diagonales P ), entonces el cuadrilátero se describe si y solo si [6] [34]

{\frac {1}{h_{M}}}+{\frac {1}{h_{N}}}={\frac {1}{h_{K}}}+{\frac {1 {h_{L}}}.

Otra propiedad similar se aplica a los radios excírculos r M , r K , r N y r L para los mismos cuatro triángulos (los cuatro excírculos tocan cada lado del cuadrilátero y las extensiones de las diagonales). Un cuadrilátero está circunscrito si y solo si [35]

{\frac {1}{r_{M}}}+{\frac {1}{r_{N}}}={\frac {1}{r_{K}}}+{\frac {1 }{r_{L}}}.

Si R M , R K , R N y R L son los radios de los círculos circunscritos de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA respectivamente, entonces el cuadrilátero ABCD está circunscrito si y solo si [36]

R_{M}+R_{N}=R_{K}+R_{L}.

En 1996, Weinstein parece haber sido el primero en demostrar otra propiedad notable de los cuadriláteros circunscritos, que luego apareció en varias revistas y sitios web [37] . La propiedad establece que si un cuadrilátero convexo se divide en cuatro triángulos que no se superponen por sus diagonales, los centros de los círculos de esos triángulos se encuentran en el mismo círculo si y solo si el cuadrilátero es circunscrito. De hecho, los centros de los círculos inscritos forman un cuadrilátero inscrito ortodiagonal [38] . Aquí las circunferencias inscritas pueden ser reemplazadas por excircunferencias (tangentes a los lados y continuaciones de las diagonales del cuadrilátero). Entonces un cuadrilátero convexo está circunscrito si y sólo si los centros de las excircunferencias son los vértices del cuadrilátero inscrito [39] .

Un cuadrilátero convexo ABCD , en el que las diagonales se cortan en un punto P , está circunscrito si y solo si los cuatro centros de las circunferencias externas de los triángulos APB , BPC , CPD y DPA se encuentran en la misma circunferencia [40] (aquí las circunferencias externas se cortan con el lados del cuadrilátero, en contraste con la declaración similar anterior, donde los excírculos se encuentran fuera del cuadrilátero). Si R m , R n , R k y R l son los radios de las excircunferencias APB , BPC , CPD y DPA , respectivamente, opuestas a los vértices B y D , entonces otra condición necesaria y suficiente para circunscribir el cuadrilátero es [41 ]

{\frac {1}{R_{m))}+{\frac {1}{R_{n))}={\frac {1}{R_{k))}+{\frac {1 {R_{l}}}.

Además, un cuadrilátero convexo en el que las diagonales se cortan en un punto P está circunscrito si y solo si [6]

{\frac {m}{\triangle (APB)))+{\frac {n}{\triangle (CPD)))={\frac {k}{\triangle (BPC)))+{\ fracción {l}{\triángulo (DPA)))

donde m , k , n , l son las longitudes de los lados AB , BC , CD y DA , y ∆( APB ) es el área del triángulo APB .

Denotemos los segmentos en que el punto P divide la diagonal AC como AP = p a y PC = p c . De manera similar, P divide la diagonal BD en segmentos BP = p b y PD = p d . Entonces el cuadrilátero está circunscrito si y sólo si se cumple una de las igualdades: [42]

{\displaystyle mp_{c}p_{d}+np_{a}q_{b}=kp_{a}p_{d}+lp_{c}p_{b))

o [38]

{\frac {(p_{a}+p_{b}-m)(p_{c}+p_{d}-n)}{(p_{a}+p_{b}+m)(p_ {c}+p_{d}+n)}}={\frac {(p_{c}+p_{b}-k)(p_{a}+p_{d}-l)}{(p_{c }+p_{b}+k)(p_{a}+p_{d}+l)}}

o [43]

{\frac {(m+p_{a}-p_{b})(n+p_{c}-p_{d})}{(m-p_{a}+p_{b})(n -p_{c}+p_{d})}}={\frac {(k+p_{c}-p_{b})(l+p_{a}-p_{d})}{(k-p_ {c}+p_{b})(l-p_{a}+p_{d})}}.

Condiciones para que el cuadrilátero circunscrito sea otro tipo de cuadrilátero

El cuadrilátero descrito es un rombo si y sólo si los ángulos opuestos son iguales [44] .

Si una circunferencia inscrita es tangente a los lados AB , BC , CD , DA en los puntos M , K , N , L respectivamente, entonces ABCD también es un cuadrilátero inscrito si y solo si [20] [25]

la cuerda MN es perpendicular a KL
${\frac {AM}{MB}}={\frac {DN}{NC}}$
${\frac {AC}{BD}}={\frac {AM+CN}{BK+DL}}$

El primer enunciado de estos tres significa que el cuadrilátero de tangencia MKNL es ortodiagonal .

Un cuadrilátero circunscrito es bicéntrico (es decir, circunscrito e inscrito al mismo tiempo) si y solo si el radio del círculo inscrito es el mayor entre todos los cuadriláteros circunscritos que tienen la misma secuencia de longitudes de los lados [45] .

El cuadrilátero descrito es un deltoides si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: [46]

el area es la mitad del producto de las diagonales
las diagonales son perpendiculares
Dos segmentos de línea que conectan puntos opuestos de contacto tienen la misma longitud
Un par de segmentos opuestos desde el vértice hasta el punto de contacto tienen la misma longitud
Las líneas medias tienen la misma longitud .
Los productos de lados opuestos son iguales
El centro del círculo inscrito se encuentra en la diagonal, que es el eje de simetría.

Véase también

círculo circunscrito
Cuadrilátero extratangente
Trapezoide descrito
Circunferencia inscrita en un triangulo

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 Josefsson, 2010a , pág. 119–130.
↑ 1 2 3 4 Andreescu, Enescu, 2006 , p. 64–68.
↑ Geometría según Kiselev . Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine , §146 .
↑ Josefsson, 2011b , pág. sesenta y cinco.
↑ Josefsson, 2011b , pág. 66.
↑ 1 2 3 Minculete, 2009 , p. 113–118.
↑ Josefsson, 2012 , pág. 72.
↑ 1 2 3 4 5 Durell y Robson, 2003 , pág. 28–30.
↑ Josefsson, 2010a , pág. 128.
↑ Hayja, 2008 , pág. 103–106.
↑ Siddons, Hughes, 1929 , pág. 203.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Grinberg, Darij, Revisión de los cuadriláteros circunscritos , 2008 . Consultado el 1 de abril de 2015. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ 1 2 Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (enlace no disponible) , 1998, págs. 156–157.
↑ Hoyt, 1986 , pág. 54–56.
↑ Publicación en Art of Problem Solving , 2012 . Consultado el 1 de abril de 2015. Archivado desde el original el 20 de febrero de 2014. (indefinido)
↑ Hayja, 2008 , pág. 103–106b Lema2.
↑ Hoyt, 1984 , pág. 239, 242.
↑ Josefsson, 2010b , pág. 27–34.
↑ Hayja, 2008 , pág. Lema3.
↑ 12 Josefsson , 2010a , pág. 124.
↑ Josefsson, 2011a , pág. 166.
↑ Josefsson, 2011c , pág. 162.
↑ Gutierrez, Antonio, "Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion", [2] Archivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine , consultado el 9 de abril de 2012.
↑ Andreescu, Enescu, 2006 , pág. 42.
↑ 12 Josefsson, 2010c , pág. Cor.3.
↑ Myakishev, 2006 , pág. 289–295.
↑ Josefsson, 2010c , pág. Cor.4.
↑ "Ineq-G126 - Geometry - very good!!!!", Publicación en Art of Problem Solving , 2011, [3]
↑ "Determinar la relación OM/ON", publicación en Art of Problem Solving , 2011
↑ Barton, 1926 , pág. 462–465.
↑ Bogomolny .
↑ Chao, Simeonov, 2000 , pág. 657–658.
↑ Josefsson, 2011a , pág. 169.
↑ 1 2 Weinstein, Vasiliev, Senderov, 1995 , p. 27–28.
↑ Josefsson, 2011b , pág. 70.
↑ Josefsson, 2012b , pág. 23–24.
↑ Josefsson, 2011b , pág. 72-73.
↑ 12 Josefsson , 2011b , pág. 74.
↑ Josefsson, 2011b , pág. 73.
↑ Josefsson, 2011b , pág. 79.
↑ Josefsson, 2011b , pág. 80.
↑ Hoehn, 2011 , pág. 211–212.
↑ Josefsson, 2011b , pág. 77.
↑ DeVilliers, 2011 , pág. 102–107.
↑ Hess, 2014 , pág. 392-393.
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Enlaces

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Enlaces externos

Weisstein, Eric W. Tangential Quadrilateral (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

polígonos

Por número de lados

monógono
Grande en
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
pentágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Trece
tetradecágono
Pentágono
Hexágono
De diecisiete
octágono
Diecinueveagón
Dodecágono
Veintiún lados
Veintidós ángulo
veintetrigon
veinte cuadrangular
Veinte pentágono
Veinte octágono
Tridecágono
Thirty-Biagon
Cuarenta cuadrados
Cuarenta bicagón
pentecostal
pentecostal
Hexágono
Sesenta y cuatro
heptágono
octágono
nonágono
[ es
Millagón
Diezmil-gon
cienmilésima
Milliogon
infinito

correcto

convexo	Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
estrellado	Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama

triangulos

cuadriláteros

ver también

Lista de polígonos
Punto perteneciente a un polígono
Teorema de Bolyai-Gervin
Teorema de Brahmagupta
Teorema de Gauss-Wanzel
Fórmula pico
Teorema de la suma de los ángulos del polígono
Relación Bretschneider