Eversión de esfera

La eversión de una esfera es el proceso de cambiar los lugares de las superficies exterior e interior de una esfera en el espacio tridimensional bajo las condiciones de topología diferencial . Se permite la autointersección de las superficies, pero en cada momento del tiempo no tiene discontinuidades y conserva la suavidad . En otras palabras, la imagen de la esfera en cada momento de deformación debe permanecer diferenciable .

La posibilidad de invertir una esfera fue descubierta por primera vez por el matemático estadounidense Stephen Smale . Es bastante difícil presentar un ejemplo específico de tal transformación, por lo que este resultado se denomina paradoja de Smale [1] . Para mayor claridad de la explicación, se crearon muchas visualizaciones.

Redacción

Sea una incrustación estándar de una esfera en un espacio tridimensional. Entonces existe una familia continua de inmersiones suaves de un parámetro , tal que y . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3))$ $f_{t}\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\en [0,1]$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$

Historia

La posibilidad de invertir una esfera fue descubierta por primera vez por el matemático estadounidense Stephen Smale en 1957 . Raul Bott , consultor de tesis de Smale, afirmó inicialmente que el resultado aparentemente era incorrecto. Explicó esto por el hecho de que tal transformación debería preservar el grado del mapeo gaussiano . Por ejemplo, no existe tal transformación para un círculo dentro de un plano. Sin embargo, para un espacio tridimensional, los grados de las aplicaciones gaussianas yeyto son ambos iguales a 1 y no tienen signos opuestos, contrariamente a una suposición errónea. El grado del mapeo gaussiano para todas las inmersiones es igual a 1, por lo que no hay obstrucciones. $F$ ${\ estilo de visualización -f}$ $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {2}}$ $\mathbb{R} ^{3}$

Variaciones y generalizaciones

La eversión de una esfera también se puede realizar en la clase de -inmersiones isométricas suaves. [2] $c ^ 1$
Una esfera de seis dimensiones , incrustada en un espacio euclidiano de siete dimensiones , también permite un adentro hacia afuera. Junto con una esfera de dimensión cero (dos puntos) en una línea y una esfera bidimensional c, estos son los únicos casos posibles en los que una esfera incrustada en puede volverse del revés. ${\ estilo de visualización S^{6}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {7))$ $S^{0}$ $\matemáticas {R}$ $S^{2}$ $\mathbb{R} ^{3}$ $S^{n}$ $\mathbb{R} ^{n+1}$
- Además, el teorema de Smale-Kaiser es válido : dos inmersiones cualesquiera de esferas en son regularmente homotópicas si y solo si . Para todos los demás , las esferas anidadas con diferentes orientaciones no son regularmente homotópicas. [3] $S^{n}$ $\mathbb{R} ^{n+1}$ ${\ estilo de visualización n = 0,2,6}$ $norte$
El principio H es una forma general de resolver tales problemas.

Notas

↑ E. A. Kudryavtseva,. “Implementación de Funciones de Suavizado en Superficies como Funciones de Altura” . Estera. Sábado, 190:3 (1999), 32 . www.mathnet.ru Consultado el 23 de febrero de 2017. Archivado desde el original el 24 de febrero de 2017. (indefinido)
↑ Gromov, M. Relaciones diferenciales en derivadas parciales.
↑ J. Malesic, PE Pushkar, D. Repovsh. "Esferas de adentro hacia afuera" . Consultado el 3 de diciembre de 2020. Archivado desde el original el 25 de noviembre de 2020. (indefinido)

Literatura

Smale, Stephen Una clasificación de las inmersiones de las dos esferas. Trans. amer Matemáticas. soc. 90 1958 281-290.
Francis, J. Libro ilustrado de topología sobre cómo dibujar imágenes matemáticas. Moscú: Mir, 1991. Capítulo 6. Dar la vuelta a la esfera.
Skopenkov AB Topología algebraica desde un punto de vista geométrico. - 2ª ed., añadir. - M: MTsNMO, 2020. - 304 p.

Enlaces

Visualización de la eversión de una esfera por el método de William Thurston (con subtítulos en ruso).
Ricky Reusser, Representación de una eversión de esfera , basada en una familia de superficies regladas