Principio h

El principio H (léase principio de ceniza ) es una forma general de resolver ecuaciones diferenciales parciales y, de manera más general, relaciones diferenciales parciales. El principio H es bueno para sistemas indeterminados como los que aparecen en problemas de inmersión , inmersión isométrica y otros.

La teoría tomó forma en los trabajos de Eliashberg , Gromov y Phillips.

La base la proporcionaron resultados anteriores, en los que la solución de las relaciones diferenciales se reducía a la homotopía, en particular, en problemas de inmersión.

Las primeras ideas del principio h aparecieron en el teorema de Whitney-Grausstein , la paradoja de la eversión de la esfera , el teorema de Nash-Kuiper y el teorema de Smale-Hirsch .

Presentación aproximada

Digamos que queremos encontrar una función en que satisfaga una ecuación diferencial parcial de grado en coordenadas . Esta ecuación se puede escribir como $F$ $\mathbb{R} ^{m}$ $k$ ${\ estilo de visualización (u_ {1}, u_ {2}, \ puntos, u_ {m})}$

{\ estilo de visualización \ Psi (u_ {1}, u_ {2}, \ puntos, u_ {m}, J_ {f}^ {k}) = 0,}

donde significa todas las derivadas parciales hasta la potencia de . En lugar de cada variable sustituimos una variable independiente Nuestra ecuación original se puede considerar como un sistema ${\ Displaystyle J_ {f}^{k}}$ $F$ $k$ ${\ Displaystyle J_ {f}^{k}}$ $y_{1},y_{2},\puntos,y_{N}.$

\Psi (u_{1},u_{2},\puntos,u_{m},y_{1},y_{2},\puntos,y_{N})=0

y un número de ecuaciones del siguiente tipo

y_{j}={\parcial ^{k}f \over \parcial u_{i_{1}}\ldots \parcial u_{i_{k}}}.

Solución de ecuación

\Psi (u_{1},u_{2},\puntos,u_{m},y_{1},y_{2},\puntos,y_{N})=0

se denomina solución formal o no holonómica , la solución del sistema (que es la solución de nuestra ecuación original) se denomina solución holonómica .

Para que exista una solución holonómica, debe existir una solución no holonómica. Por lo general, esto último es bastante fácil de verificar y, si no lo es, entonces nuestra ecuación original no tiene soluciones.

Se dice que una PDE satisface el principio h si cualquier solución no holonómica se puede deformar a una solución holonómica en la clase de soluciones no holonómicas. Así, cuando se cumple el principio h, el problema diferencial-topológico se reduce a un problema algebraico y topológico. Más específicamente, esto significa que aparte de los topológicos, no hay otros obstáculos para la existencia de soluciones holonómicas. El problema topológico de encontrar una solución no holonómica suele ser mucho más simple.

Muchas ecuaciones diferenciales parciales indeterminadas satisfacen el principio h.

El incumplimiento del principio h para una determinada ecuación también es una declaración interesante, intuitivamente esto significa que los objetos en estudio tienen una geometría no trivial que no se puede reducir a la topología. Un ejemplo son las incrustaciones lagrangianas en una variedad simpléctica ; no satisfacen el principio h, para probar esto, usan invariantes basados en curvas pseudo-holomórficas.

El ejemplo más simple

Considere un automóvil que se mueve en un avión. La posición del automóvil en el plano está determinada por tres parámetros: dos coordenadas y (por ejemplo, deje que estas coordenadas especifiquen la posición del punto medio entre las ruedas traseras) y un ángulo que describe la orientación del automóvil. En movimiento, el automóvil satisface la ecuación $X$ $y$ $\alfa$

{\dot {x}}\sin \alpha ={\dot {y}}\cos \alpha ,

suponiendo que el vehículo se mueve sin patinar.

La solución no holonómica en este caso corresponde al movimiento del carro por deslizamiento en el plano. En este caso, las soluciones no holonómicas no solo son homotópicas para las holonómicas, sino que también se aproximan arbitrariamente bien a las holonómicas (esto se puede lograr moviéndose hacia adelante y hacia atrás, como en el estacionamiento paralelo en un espacio limitado) - tenga en cuenta que en este caso, tanto la posición como la dirección del automóvil se aproximan arbitrariamente cerca. La última propiedad es más fuerte que el principio h general; se llama el principio h denso . $C^{0}$

Aplicaciones

Aquí hay algunos resultados contrarios a la intuición que se pueden probar aplicando el principio h:

Inversión del cono . [1] Considere una función f en R 2 sin origen, . Entonces existe una familia continua de funciones de un parámetro tal que , , y para cualquiera el gradiente es distinto de cero en cualquier punto. $f(x)=|x|$ $pie$ $f_0=f$ $f_{1}=-f$ $t$ $pie$

Cualquier variedad abierta admite una métrica riemanniana (no completa) de curvatura positiva (o negativa).

La eversión de una esfera sin que se arrugue ni se desgarre se puede realizar utilizando únicamente fijaciones de esferas isométricas. $c ^ 1$

Teorema de Nash sobre incrustaciones regulares .

Notas

↑ Conferencia 27 en Tabachnikov S.L. Fuchs D.B. Diversión Matemática . - MTSNMO, 2011. - 512 págs. - 2000 copias. - ISBN 978-5-94057-731-7 . Archivado el 2 de abril de 2016 en Wayback Machine .

Literatura

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Introducción al principio h . - M .: Centro de Moscú para la Educación Matemática Continua, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .
Gromov M. Relaciones diferenciales con derivadas parciales. - M. : Mir. - ISBN 5-03-001297-4 .
N. H. Kuiper, On C 1 -incrustaciones isométricas // Matemáticas 1957, Volumen 1, Número 2, págs. 17—28.
J. Nash, C 1 -incrustaciones isométricas // Matemáticas 1957, volumen 1, número 2, págs. 3—16.
M. W. Hirsch, Inmersiones de múltiples. Trans. amer Matemáticas. soc. 93 (1959)
S. Smale, La clasificación de inmersiones de esferas en espacios euclidianos. Ana. de Matemáticas (2) 69 (1959)
David Spring, Teoría de la integración convexa: soluciones al principio h en geometría y topología, Monografías en Matemáticas 92, Birkhauser-Verlag, 1998