Funcional convexo

Un funcional convexo es un funcional que es una función convexa , es decir, cuyo epígrafe es un conjunto convexo .

Formalmente, un funcional definido en un espacio lineal se llama convexo si [1] es cierto : $pags$ $L$

p(\alpha x+\beta y)\leq \alpha p(x)+\beta p(y)\ ,\forall x,y\in L,\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\ alfa+\beta=1

.

Ejemplos de funcionales convexos son la seminorma , la norma , el funcional lineal y el funcional de Minkowski de un conjunto convexo y simétrico.

Si y son funcionales convexos, es un número positivo, entonces los siguientes funcionales son convexos: $pags$ $q$ $\alfa$

${\ estilo de visualización (p + q) (x) = p (x) + q (x)}$
${\ estilo de visualización (\ alfa p) (x) = \ alfa p (x)}$
$(p\vee q)(x)=\max(p(x),q(x))$
Convolución final: $(p\oplus q)(x)=\inf _{y+z=x}(p(y)+q(z))$

La teoría de los funcionales convexos se utiliza en la programación convexa [2] .

Enlaces

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Elementos de análisis convexo y fuertemente convexo. — M.: Fizmatlit, 2004. — 416 p. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Funcional convexo : artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . V. M. Tikhomirov

Notas

↑ Trigo, 1969 , p. 37.
↑ Trigo, 1969 , p. 49.

Literatura

Trigo B.N. Condiciones necesarias para un extremum. — M .: Nauka, 1969. — 150 p.