Minkowski funcional

El funcional de Minkowski es un funcional que utiliza la estructura lineal del espacio para introducir topología en él. Llamado así por el matemático alemán Hermann Minkowski .

Definición

Para cualquier espacio vectorial ( real o complejo ) y su subconjunto , el funcional de Minkowski se define como: $X$ $k$ $\ \mu _{K}:X\rightarrow [0,\infty )$

\mu _{K}(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}

Se supone que el conjunto tampoco es vacío. Bajo condiciones adicionales sobre el funcional tendrá las propiedades de una seminorma , a saber: $0\en K$ $\{r>0\mid x\in rK\}$ $k$

de la convexidad y la simetría se sigue la subaditividad , es decir ; $k$ $\mu _{K}$ $\ \mu _{K}(\alpha x+\beta y)\leq \alpha \mu _{K}(x)+\beta \mu _{K}(y)$
la homogeneidad - para todos se logra si - un conjunto equilibrado , es decir, para todos . $\mu _{K}(\alfa x)=|\alfa |\mu _{K}(x)$ $\alfa$ $k$ $\alpha K\subconjunto K$ $|\alpha |\leqslant 1$

Propiedades

El funcional de Minkowski se puede utilizar para definir una topología en el espacio, ya que para conjuntos cerrados convexos que contienen 0 tiene las propiedades de una seminorma. También permite establecer una correspondencia (una de las manifestaciones de la dualidad de Minkowski ) entre los conjuntos en y , ya que tiene las propiedades de una función de soporte en el espacio dual . Sea un espacio euclidiano de dimensión finita . Para cualquier conjunto, el conjunto conjugado se presenta como un conjunto cuya función de soporte en los vectores coincide con : $k$ $X$ $X^{*}$ $X$ $K\subconjunto X$ $K^{*}\subconjunto X^{*}$ $s(p,K^{*})$ $p\en X$ $paquete}$

\forall p\in X~s(p,K^{*})=\mu _{K}(p)

Además, para cualquier balanceado cerrado convexo tenemos : $k$

\ K^{{**}}=K

Esta definición también se puede extender a espacios reflexivos de dimensión infinita . En este caso, sin embargo, surge cierta complejidad, ya que el espacio contiene elementos que no residen en . Es posible extender la función de soporte en poniendo a 0 para tales vectores Entonces, bajo incrustación natural , la imagen coincide con (para convexidad y equilibrio). $X^{{**}}$ $X$ $K^{*}$ $X\hookrightarrow X^{{**}}$ $k$ $K^{{**}}$

Véase también

Otras manifestaciones de la dualidad de Minkowski:

Transformación legendre
principio de referencia

Literatura

Polovinkin ES , Balashov MV Elementos de análisis convexo y fuertemente convexo . — M.: Fizmatlit, 2004. — 416 p. — ISBN 5-9221-0499-3 .