Función divisoria

La función divisor es una función aritmética asociada a los divisores de un número entero . La función también se conoce como la función divisor . Se utiliza, en particular, en el estudio de la relación entre la función zeta de Riemann y la serie de Eisenstein para formas modulares . Estudiado por Ramanujan , quien derivó una serie de igualdades importantes en la aritmética modular y las identidades aritméticas .

Estrechamente relacionada con esta función está la función divisora sumatoria , que, como sugiere su nombre, es la suma de la función divisoria.

Definición

La función " suma de divisores positivos " σ x ( n ) para un número real o complejo x se define como la suma de las x -ésimas potencias de los divisores positivos de n . La función se puede expresar mediante la fórmula

\sigma _{{x}}(n)=\sum _{{d|n}}d^{x}\,\!,

donde significa " d divide a n ". La notación d ( n ), ν( n ) y τ( n ) (del alemán Teiler = divisor) también se usa para denotar σ 0 ( n ), o la función del número de divisores [1] [2] . Si x es 1, la función se denomina función sigma o suma de divisores [3] y, a menudo, se omite el índice, de modo que σ( n ) es equivalente a σ 1 ( n ) [4] . ${d|n}$

La suma alícuota s(n) paranesla sumade sus propios divisoreses decir, todos los divisores excepto el propio .n) −n(1) y es igual a σ[5]n

Ejemplos

Por ejemplo, σ 0 (12) es el número de divisores del número 12:

{\begin{alineado}\sigma_{0}}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12 ^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{alineado}}

mientras que σ 1 (12) es la suma de todos los divisores:

{\begin{alineado}\sigma _{{1}}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12 ^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{alineado}}

y la suma alícuota s(12) de los divisores propios es:

{\begin{alineado}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3 +4+6=16.\end{alineado}}

Tabla de valores

norte	Divisores	0 ( norte ) _	σ 1 ( norte )	s ( norte ) = σ 1 ( norte ) - norte	Comentarios
una	una	una	una	0	cuadrado: el valor σ 0 ( n ) es impar; grado 2: s( n ) = n − 1 (casi perfecto)
2	1.2	2	3	una	primo: σ 1 (n) = 1+n, entonces s(n) =1
3	1.3	2	cuatro	una	primo: σ 1 (n) = 1+n, entonces s(n) =1
cuatro	1,2,4	3	7	3	cuadrado: σ 0 ( n ) impar; potencia 2: s ( n ) = n − 1 (casi perfecta)
5	1.5	2	6	una	primo: σ 1 (n) = 1+n, entonces s(n) =1
6	1,2,3,6	cuatro	12	6	primer número perfecto : s ( n ) = n
7	1.7	2	ocho	una	primo: σ 1 (n) = 1+n, entonces s(n) =1
ocho	1,2,4,8	cuatro	quince	7	potencia 2: s ( n ) = n − 1 (casi perfecta)
9	1,3,9	3	13	cuatro	cuadrado: σ 0 ( n ) impar
diez	1,2,5,10	cuatro	Dieciocho	ocho
once	1.11	2	12	una	primo: σ 1 (n) = 1+n, entonces s(n) =1
12	1,2,3,4,6,12	6	28	dieciséis	primer número redundante : s ( n ) > n
13	1.13	2	catorce	una	primo: σ 1 (n) = 1+n, entonces s(n) =1
catorce	1,2,7,14	cuatro	24	diez
quince	1,3,5,15	cuatro	24	9
dieciséis	1,2,4,8,16	5	31	quince	cuadrado: σ 0 ( n ) impar; potencia 2: s ( n ) = n − 1 (casi perfecta)

Los casos , etc. vienen en las secuencias A001157 , A001158 , A001159 , A001160 , A013954 , A013955 ... $x=2$ $x=3$

Propiedades

Para números enteros que no son cuadrados, cada divisor d de n tiene un par divisor n/d y, por lo tanto, siempre es par para tales números. Para cuadrados, un divisor, a saber , no tiene un par, por lo que siempre es impar para ellos. $\sigma _{{0}}(n)$ ${\ sqrt n}$ $\sigma _{{0}}(n)$

Para un número primo p ,

{\begin{alineado}\sigma_{0}(p)&=2\\\sigma_{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma_{1}(p)& =p+1\end{alineado}}

porque, por definición, un número primo es divisible solo por uno y por sí mismo. Si p n # significa primorial entonces

{\ estilo de visualización \ sigma _ {0} (p_ {n} \ #) = 2 ^ {n}}

Está claro que para todos . $1<\sigma _{0}(n)<n$ $\sigma(n)>n$ $norte > 2$

La función divisor es multiplicativa , pero no completamente multiplicativa .

si escribimos

n=\prod_{{i=1}}^{r}p_{i}^{{a_{i}}}

donde r = ω ( n ) es el número de divisores primos de n , p i es el i - ésimo divisor primo, y a i es la potencia máxima de p i que divide a n , entonces

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{{r}}{\frac {p_{{i}}^{{(a_{{i}}+1)x }}-1}{p_{{i}}^{x}-1}}

que es equivalente a:

\sigma _{x}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}\sum _{{j=0}}^{{a_{i}}}p_{i}^{{ jx}}=\prod_{{i=1}}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{{2x}}+\cdots +p_{i}^{ {a_{i}x}}).

Poniendo x = 0, obtenemos que d ( n ) es:

\sigma _{0}(n)=\prod _{{i=1}}^{r}(a_{i}+1).

Por ejemplo, el número n \u003d 24 tiene dos divisores primos: p 1 \u003d 2 y p 2 \u003d 3. Dado que 24 es el producto de 2 3 × 3 1 , entonces 1 \u003d 3 y 2 \ u003d 1 .

Ahora podemos calcular : $\sigma _{0}(24)$

{\begin{alineado}\sigma_{0}(24)&=\prod_{{i=1}}^{{2}}(a_{i}+1)\\&=(3+1) (1+1)=4\veces 2=8.\end{alineado}}

Los ocho divisores de 24 son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 y 24.

Tenga en cuenta también que s ( norte ) = σ ( norte ) − norte . Aquí s ( n ) denota la suma de los divisores propios del número n , es decir, los divisores excluyendo el propio número n . Esta función se utiliza para determinar la perfección de un número - para ellos s ( n ) = n . Si s ( n ) > n , n se llama excesivo , y si s ( n ) < n , n se llama insuficiente .

Si n es una potencia de dos, es decir , entonces s (n) = n - 1 , lo que hace que n sea casi perfecta . $n=2^{k}$ $\sigma (n)=2\times 2^{k}-1=2n-1,$

Como ejemplo, para dos p y q simples (donde p < q ), sea

{\ estilo de visualización n = pq.}

Después

{\ estilo de visualización \ sigma (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q),}

{\ estilo de visualización \ phi (n) = (p-1) (q-1) = n + 1- (p + q),}

n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,

p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,

donde φ ( n ) es la función de Euler .

Entonces las raíces p y q de la ecuación:

(xp)(xq)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[ (\sigma(n)+\phi(n))/2-1]=0

se puede expresar en términos de σ ( n ) y φ ( n ) :

p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}},

q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\ sigma (n)+\phi (n))/2-1]}}.

Conociendo n y σ ( n ) o φ ( n ) (o conociendo p+q y σ ( n ) o φ ( n )) podemos encontrar fácilmente p y q .

En 1984, Roger Heath-Brown demostró que

\sigma_{0}(n)=\sigma_{0}(n+1)

ocurre infinitamente muchas veces.

Conexión de filas

Dos series de Dirichlet usando la función divisor:

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma_{{a}}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (sa) ,

y con la notación d ( n ) = σ 0 ( n ) obtenemos

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s),

y la segunda fila

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (sa)\zeta (sb)\zeta (sab)}{\zeta (2s-ab))).

Serie de Lambert usando la función divisor:

\sum_{{n=1}}^{\infty}q^{n}\sigma_{a}(n)=\sum_{{n=1}}^{\infty}}{\frac {n ^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

para cualquier complejo | q | ≤ 1 y un .

Esta suma también aparece en la serie de Fourier para la serie de Eisenstein y en las invariantes de las funciones elípticas de Weierstrass .

Tasa de crecimiento asintótico

En términos de o-pequeño , la función divisor satisface la desigualdad (ver página 296 del libro del Apóstol [6] )

para todos

\epsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\epsilon }).

Severin Wiegert dio una estimación más precisa

\limsup _{{n\to \infty }}{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.

Por otro lado, como el número de números primos es infinito ,

\liminfo _{{n\to \infty}}d(n)=2.

En términos de O grande , Dirichlet demostró que el orden medio de la función divisor satisface la siguiente desigualdad (ver el Teorema 3.3 del libro del Apóstol)

para todos

x\geq 1,\sum _{{n\leq x}}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),

donde es la constante de Euler-Mascheroni . $\gama$

La tarea para mejorar el límite en esta fórmula es el problema del divisor de Dirichlet $O({\raíz cuadrada {x)))$

El comportamiento de la función sigma no es uniforme. La tasa de crecimiento asintótico de la función sigma se puede expresar mediante la fórmula:

\limsup _{{n\rightarrow \infty}}{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma},

donde lim sup es el límite superior de . Este resultado es el teorema de Grönwall publicado en 1913 [7] . Su prueba utiliza el tercer teorema de Mertens , que establece que

\lim _{{n\to \infty}}{\frac {1}{\log n}}\prod_{{p\leq n}}{\frac {p}{p-1}}=e^ {{\gamma}},

donde p es primo.

En 1915, Ramanujan demostró que bajo la hipótesis de Riemann, la desigualdad

\ \sigma (n)<e^{\gamma}n\log \log n

(Desigualdad de Robin)

se cumple para todos los n suficientemente grandes [8] . En 1984, Guy Robin demostró que la desigualdad es verdadera para todo n ≥ 5041 si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera [9] . Este es el teorema de Robin y la desigualdad se hizo ampliamente conocida después de la demostración del teorema. El mayor número conocido que viola la desigualdad es n = 5040. Si la Hipótesis de Riemann es verdadera, entonces no hay números mayores que este y que violen la desigualdad. Robin demostró que si la hipótesis es incorrecta, existen infinitos números n que violan la desigualdad, y se sabe que el menor de tales números n ≥ 5041 debe ser un número superredundante [10] . Se ha demostrado que la desigualdad se cumple para grandes números impares libres de cuadrados y que la hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad para todos los números n divisibles por la quinta potencia de un número primo [11]

Jeffrey Lagarias demostró en 2002 que la Hipótesis de Riemann es equivalente al enunciado

\sigma(n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

para cualquier n natural , donde es el n-ésimo número armónico [12] . $H_n$

Robin demostró que la desigualdad

\ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n))

se cumple para n ≥ 3 sin ninguna condición adicional.

Notas

↑ Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2.ª ed.), Lexington: DC Heath and Company, LCCN 77-171950 página 46
↑ Secuencia OEIS A000005 _
↑ Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elementos de la teoría de los números, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766, págs. 58
↑ Secuencia OEIS A000203 _
↑ Secuencia OEIS A001065 _
↑ "Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números, Textos universitarios en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929, Zbl 0335.10001
↑ Grönwall, Thomas Hakon (1913), "Algunas expresiones asintóticas en la teoría de los números", Transactions of the American Mathematical Society 14: 113-122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
↑ Ramanujan, Srinivasa (1997), "Números altamente compuestos, anotados por Jean-Louis Nicolas y Guy Robin", The Ramanujan Journal 1 (2): 119-153, doi:10.1023/A:1009764017495, ISSN 1382-4090, MR 1606180
↑ Robin, Guy (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187-213, ISSN 0021-7824, MR 774171
↑ Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Números superabundantes y la hipótesis de Riemann", American Mathematical Monthly 116 (3): 273-275, doi: 10.4169/193009709X470128
↑ YoungJu Choie, Nicolas Lichiardopol Pieter Moree Patrick Solé Sobre el criterio de Robin para la hipótesis de Riemann 2007 Journal de théorie des nombres de Bordeaux, ISSN=1246-7405, v19, número 2, páginas=357-372
↑ Lagarias, Jeffrey C. (2002), "Un problema elemental equivalente a la hipótesis de Riemann", The American Mathematical Monthly 109 (6): 534-543, doi:10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 19080

Enlaces

Bach, Eric ; Shallit, Jeffrey , Teoría de números algorítmicos , volumen 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5 , consulte la página 234 en la sección 8.8.
Weisstein, Eric W. Robin's Theorem (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Evaluación elemental de ciertas sumas de convolución que involucran funciones de divisor PDF por Huard, Ou, Spearman y Williams. Contiene una prueba elemental (es decir, no basada en la teoría de formas modulares) de la convolución de la suma de divisores, fórmulas para representar números de varias maneras como la suma de números triangulares .

Números por características de divisibilidad
Información general	Factorización de números enteros Divisibilidad divisor unitario Función divisoria número primo Teorema fundamental de la aritmética número aritmético
Formas de factorización	número primo Número compuesto Semiprima número rectangular número esfénico Número sin cuadrados múltiplo completo grado perfecto numero de aquiles número suave número normal número aproximado número inusual
Con divisores limitados	número perfecto Cifras ligeramente insuficientes Números ligeramente redundantes número multiperfecto Números hemiperfectos número hiperperfecto número súper perfecto primo unitario número semiperfecto número pararítmico Número de Erdős-Nicolas
Números con muchos divisores	exceso de números Exceso de números primitivos Números altamente redundantes Números superredundantes Números enormemente redundantes número supercompuesto Un número altamente supercompuesto número extraño
Relacionado con secuencias alícuotas	número sagrado números amistosos números públicos Números casi amigables
Otro	No hay suficientes números números de amigos numeros sublimados Números de mineral número humilde Dígitos iguales número extravagante