Serie armónica

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Serie armónica - la suma de un número infinito de términos recíprocos de números consecutivos de la serie natural :

\sum _{k=1}^{\mathcal {\infty}}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

La serie se llama armónica porque se compone de “armónicos” : el armónico th extraído de la cuerda del violín es el tono fundamental producido por una cuerda con una longitud de la longitud de la cuerda original [1] . Además, cada término de la serie, a partir del segundo, es la media armónica de dos términos vecinos. $k$ ${\frac{1}{k))$

Sumas de los n primeros términos de una serie (sumas parciales)

Los términos individuales de la serie tienden a cero, pero su suma diverge. La suma parcial de los n primeros términos de la serie armónica se denomina número armónico n :

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

La diferencia entre el número armónico th y el logaritmo natural converge a la constante de Euler-Mascheroni . $norte$ $norte$ $\gamma =0{,}5772...$

La diferencia entre diferentes números armónicos nunca es un número entero, y ningún número armónico que no sea , es un número entero: [2] . $H_{1}=1$ $\forall n>1\;\;\;\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\notin \mathbb {N}$

Algunos valores de sumas parciales

{\begin{matriz}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{ 3}&=&{\frac {11}{6}}&\aproximadamente &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\aproximadamente &2{, }083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matriz}}

{\begin{matriz}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363} {140}}&\aproximadamente &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\aproximadamente &2{,}718\\\\H_{10^{ 3}}&\aproximadamente &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\aproximadamente &14{,}393\end{matriz}}

Fórmula de Euler

En 1740, Euler obtuvo una expresión asintótica para la suma de los primeros términos de la serie: $norte$

{\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +\varepsilon _{n))

donde es la constante de Euler-Mascheroni , y es el logaritmo natural . $\gamma =0{,}5772...$ $\ln$

En valor , por lo tanto, para grandes $n\rightarrow\infty$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {n} \ flecha derecha 0,}$ $norte$

H_{n}\aprox.\ln n+\gamma

- Fórmula de Euler para la suma de los primeros términos de la serie armónica.

norte

Un ejemplo del uso de la fórmula de Euler

$norte$	$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))$	${\ estilo de visualización \ ln n + \ gamma}$	$\varepsilon_{n}$ , (%)
diez	2.93	2.88	1.7
25	3.82	3.80	0.5

Una fórmula asintótica más precisa para la suma parcial de la serie armónica:

H_{n}\asymp \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^ {4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{ \infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}},

¿ Dónde están los números de Bernoulli ?

B_{{2k}}

Esta serie diverge, pero el error de cálculo en ella nunca supera la mitad del primer término descartado. .

Divergencia de la serie

La serie armónica diverge : pero muy lentamente (para que la suma parcial exceda de 100, se necesitan alrededor de 10 43 elementos de la serie). $s_{n}\rightarrow\infty$ ${\ estilo de visualización n \ flecha derecha \ infinito,}$

La divergencia de la serie armónica se puede demostrar comparándola con la siguiente serie telescópica , que se obtiene tomando un logaritmo : $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e$

v_{n}=\ln(n+1)-\ln n=\ln \left(1+{\frac {1}{n))\right)<{\frac {1}{n} }.

La suma parcial de esta serie es obviamente igual a La secuencia de tales sumas parciales diverge; por tanto, por definición, la serie telescópica diverge, pero del criterio de comparación de series se sigue que la serie armónica también diverge. $\sum_{i=1}^{n}v_{i}=\ln(n+1).$

Demostración en términos del límite de una sucesión de sumas parciales [3]

Consideremos la sucesión . Demostremos que esta sucesión no es fundamental , es decir, Estimemos la diferencia . Entonces , por lo tanto, esta sucesión no es fundamental y diverge según el criterio de Cauchy. Entonces, por definición, la serie también diverge. $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.$ $\exists \varepsilon >0:\forall k\in \mathbb {N} \ \exists n>k,\exists p\in \mathbb {N} :\left\vert H_{n+p}-H_ {n}\right\vert\geq\varepsilon.$ $\left\vert H_{n+p}-H_{n}\right\vert ={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{n+p} }\geq {\frac {1}{n+p}}+\cdots +{\frac {1}{n+p}}={\frac {p}{n+p}}.$ $p\doteq n.$ $\forall n\in \mathbb {N} :\left\vert H_{2n}-H_{n}\right\vert \geq {\frac {1}{2)).$

Prueba de Oresme

Se puede construir una prueba de la divergencia comparando la serie armónica con otra serie divergente en la que los denominadores se completan a la potencia de dos. Esta serie se agrupa y se obtiene una tercera serie que diverge:

{\begin{alineado}\sum_{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}} \right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac { 1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right ]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 4}}\derecha]+\izquierda[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{ 8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1} {2}}\ \quad +\ \cdots .\end{alineado}}

(Una agrupación de series convergentes siempre da una serie convergente, lo que significa que si después de agrupar la serie es divergente, entonces la serie original también diverge).

Esta prueba pertenece al erudito medieval Nicholas Orem (c. 1350).

Series relacionadas

Serie armónica generalizada

La serie armónica generalizada (un caso especial de la serie de Dirichlet ) se llama la serie [4]

\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{ \frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+ \cdots

Esta serie diverge en y converge en [4] . $\alpha \leqslant 1$ $\ alfa > 1$

La suma de la serie de orden armónico generalizado es igual al valor de la función zeta de Riemann : $\alfa$

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )

Para números pares, este valor se expresa explícitamente en términos de pi , por ejemplo, la suma de una serie de cuadrados inversos . Pero ya para α =3 su valor ( la constante de Apéry ) es analíticamente desconocido. $\zeta (2)={\frac {\pi^{2}}{6}}$

Otra ilustración de la divergencia de la serie armónica puede ser la relación $\zeta (1+{\frac {1}{n)))\sim n.$

Serie alterna

A diferencia de la serie armónica, en la que todos los términos se toman con el signo “+”, la serie

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5 }}\,-\,\cpuntos

converge según la prueba de Leibniz . Por lo tanto, se dice que tal serie tiene convergencia condicional . Su suma es igual al logaritmo natural de 2:

1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\ ,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.

Esta fórmula es un caso especial de la serie de Mercator , es decir, la serie de Taylor para el logaritmo natural.

Una serie similar se puede derivar de la serie de Taylor para el arco tangente :

\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n}}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\ ,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \; \;=\;\;{\frac{\pi}{4}}.

Esta relación se conoce como serie de Leibniz .

Serie armónica aleatoria

En 2003, [5] [6] estudiaron las propiedades de una serie aleatoria

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {s_{n}}{n)),

donde son variables aleatorias independientes , idénticamente distribuidas que toman los valores +1 y −1 con la misma probabilidad ½. Se muestra que esta serie converge con probabilidad 1 , y la suma de la serie es una variable aleatoria con propiedades interesantes. Por ejemplo, la función de densidad de probabilidad , calculada en los puntos +2 o −2, tiene el valor: $s_{n}$

0.124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …,

difiere de ⅛ por menos de 10 −42 .

Serie armónica "reducida"

Ver Serie Kempner

Si consideramos una serie armónica en la que solo quedan términos, cuyos denominadores no contienen el número 9, resulta que la serie restante converge y su suma es menor que 80 [7] . Posteriormente se encontró una estimación más precisa, la serie de Kempner converge a (secuencia A082838 en OEIS ). Además, se demuestra que si dejamos los términos que no contienen ninguna secuencia de dígitos preseleccionada, entonces la serie resultante convergerá. A partir de esto, se puede sacar una conclusión errónea sobre la convergencia de la serie armónica original, lo cual no es cierto, ya que con dígitos crecientes en el número, se toman cada vez menos términos para la suma de la serie "adelgazada". Es decir, al final, la gran mayoría de los términos que forman la suma de la serie armónica se descartan para no exceder la progresión geométrica que limita desde arriba. $22{,}92067661926415034816$ $norte$

Notas

↑ Graham R., Knut D., Patashnik O. Matemáticas concretas. Fundación de la informática. — M.: Mir; BINOMIO. Laboratorio del Conocimiento, 2006. - S. 47. - 703 p. ISBN 5-03-003773-X
↑ Número armónico: de Wolfram MathWorld . Consultado el 6 de marzo de 2010. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2013. (indefinido)
↑ Kudryavtsev N.L. Conferencias sobre análisis matemático. - 2013. - S. 35.
↑ 1 2 Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de instituciones de educación superior. M.: Ciencia. Edición principal de literatura física y matemática, 1981, 718 p.
^ "Serie armónica aleatoria", American Mathematical Monthly 110, 407-416, mayo de 2003
↑ Preimpresión de Schmuland de Random Harmonic Series . Consultado el 6 de marzo de 2010. Archivado desde el original el 8 de junio de 2011. (indefinido)
↑ Acertijos matemáticos de Nick: Solución 72 . Fecha de acceso: 6 de marzo de 2010. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2010. (indefinido)

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux