Distribución logarítmica normal

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logaritmo normal
μ=0Densidad de probabilidad
μ=0función de distribución
Designacion	${\ estilo de visualización \ ln N (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ , ${\ estilo de visualización LN (\ mu, \ sigma ^ {2})}$
Opciones	${\ estilo de visualización \ sigma> 0}$ $-\infty <\mu <\infty$
Transportador	$x\in (0;+\infty)$
Densidad de probabilidad	$\exp \left(-\left.\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right]^{2}\right/2\right)\left/\left( x\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)\right.$
función de distribución	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\ sqrt {2}}}}\derecho]$
Valor esperado	$e^{{\mu +\sigma^{2}/2}}$
Mediana	$e^{{\ mu ))$
Moda	$e^{{\mu-\sigma^{2}}}$
Dispersión	$(e^{{\sigma^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma^{2}}}$
Coeficiente de asimetría	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$
Coeficiente de curtosis	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$
entropía diferencial	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
Función generadora de momentos	$\operatorname {E}[X^{s}]=e^{{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}}.$
función característica	$\sum _{{n=0}}^{{\infty}}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}/2}}$

La distribución lognormal en la teoría de la probabilidad es una familia de dos parámetros de distribuciones absolutamente continuas . Si una variable aleatoria tiene una distribución lognormal, entonces su logaritmo tiene una distribución normal .

Definición

Sea la distribución de una variable aleatoria dada por la densidad de probabilidad que tiene la forma: $X$

F X ( X ) = una X σ 2 π mi − ( en ⁡ X − m ) 2 / 2 σ 2 , {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi ))))e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2 \sigma^{2}},}

f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{{-(\ln x-\mu )^{2}/ 2\sigma ^{2}}},

donde _ Entonces decimos que tiene una distribución log-normal con parámetros y . Escribe: . $x>0,\;\sigma >0,\;\mu \in {\mathbb {R))$ $X$ $\mu$ $\sigma$ $X\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$

Momentos

La fórmula para el enésimo momento de una variable aleatoria lognormal es: $k$ $X$

{\mathbb {E}}\left[X^{k}\right]=e^{{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}}}, \;k\in {\mathbb {N}),

de donde en particular:

{\mathbb {E}}[X]=e^{{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}

{\mathrm {D}}[X]=\left(e^{{\sigma ^{2}}}-1\right)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}

Cualquier momento no central de una distribución lognormal conjunta n-dimensional se puede calcular con una fórmula simple:

\alpha _{{n}}=e^{{(\mu,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)))

, donde y son los parámetros de la distribución conjunta multivariante. es un vector cuyas componentes definen el orden del momento. (Por ejemplo, en el caso bidimensional, - el segundo momento no central del primer componente, - el segundo momento mixto). Los paréntesis indican el producto escalar.

\mu

\Sigma

norte

n=(2,0)

n=(1,1)

Propiedades de la distribución lognormal

Si son variables aleatorias lognormales independientes tales que , entonces su producto también es lognormal: $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}(\mu,\sigma_{i}^{2})$ $Y=\prod \limits_{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}\left(n\mu ,\sum \limits_{{i=1}} ^{n}\sigma _{i}^{2}\derecha)$ .

Relación con otras distribuciones

Si , entonces . $X\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ $Y=\ln(X)\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$

Por el contrario, si , entonces . $Y\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ $X=\exp(Y)\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$

Simulación de variables aleatorias lognormales

Normalmente, para el modelado se utiliza una conexión con una distribución normal. Por tanto, basta con generar una variable aleatoria normalmente distribuida, por ejemplo, utilizando la transformada de Box-Muller , y calcular su exponente.

Generalización de variaciones

La distribución lognormal es un caso especial de la llamada distribución del Capitán. .

Aplicaciones

La distribución lognormal describe satisfactoriamente la distribución de frecuencias de partículas sobre sus tamaños durante la fragmentación aleatoria, por ejemplo, granizo en granizo , etc. Sin embargo, hay excepciones, por ejemplo, el tamaño de los asteroides en el sistema solar tiene una distribución logarítmica .

Literatura

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Aitchison, J. y Brown, JAC (1957) The Lognormal Distribution , Cambridge University Press .
Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Distribuciones lognormales en las ciencias: claves y pistas // BioScience : diario. - 2001. - vol. 51 , núm. 5 . - Pág. 341-352 . - doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
Eric W. Weisstein et al. Registre la distribución normal en MathWorld . Documento electrónico, consultado el 26 de octubre de 2006.
Holgate, P. La función característica lognormal (neopr.) // Comunicaciones en Estadística - Teoría y Métodos. - 1989. - T. 18 , N º 12 . - S. 4539-4548 . -doi : 10.1080/ 03610928908830173 .
Brooks, Roberto; Corson, John; Donal, GalesEl precio de las opciones sobre índices cuando todos los activos subyacentes siguen una difusión lognormal // Avances en la investigación de futuros y opciones: revista. - 1994. - vol. 7 .

diccionarios y enciclopedias	gran chino gran ruso
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4221613-8 J9U : 987007536256605171 LCCN : sh85078134

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula