Hiperfunción (matemáticas)

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Hiperfunción (matemáticas) - el desarrollo del concepto de una función generalizada . La hiperfunción de una variable es la diferencia de los valores límite sobre el eje real de dos funciones holomorfas definidas, respectivamente, en los semiplanos superior e inferior del plano complejo. Las hiperfunciones de varias variables se definen como elementos de algún grupo cohomológico con coeficientes en el haz de funciones holomorfas [1] . Las hiperfunciones fueron descubiertas por Mikio Sato en 1958 [2] [3] .

Hiperfunción de una variable

La hiperfunción de una variable se puede considerar como la diferencia en el eje real entre una función holomorfa definida en el semiplano complejo superior y otra definida en el semiplano complejo inferior - [1] . La hiperfunción de una variable está determinada únicamente por la diferencia de dos funciones en el eje real y no cambia al sumar una misma función holomorfa en todo el plano complejo , por lo que las hiperfunciones y se definen como equivalentes. $F$ $gramo$ ${\ estilo de visualización (f, g)}$ $fg$ $F$ $gramo$ $h$ ${\ estilo de visualización (f, g)}$ ${\ estilo de visualización (f + h, g + h)}$

Hiperfunción de muchas variables

Sea una pregavilla en , definida como sigue [4] : si no está acotada, entonces ; si es limitado, entonces ; Las restricciones se definen como: , si no están limitadas , si están limitadas. Una gavilla de hiperfunción es una gavilla asociada con una pregavilla . $B'$ ${\ Displaystyle R^{n}}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=\left\{0\right\}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=B(\Omega )$ $B'(\Omega )\rightarrow B'(\omega )$ ${\ estilo de visualización 0 \ flecha derecha 0}$ $\Omega$ $T\rightarrow T|\omega$ $\Omega$ ${\ Displaystyle R^{n}}$ $B$ $B'$

La hiperfunción está determinada por: cobertura donde está abierta y limitada; y elementos para los cuales . $\Omega$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}\Omega _{i))$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {i}}$ $T_{i}\in B(\Omega _{i})$ ${\displaystyle T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}=T_{j}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j))$

Dos de estos conjuntos y determinan la misma hiperfunción si ${\ estilo de visualización (\ Omega _ {i}, T_ {i}), i \ en I}$ ${\ estilo de visualización (\ Omega _ {i'}, T_ {i'}), i' \ en I'}$ $T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'}=T_{i'}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'},\forall i\ en yo, yo'\en yo'$

Ejemplos

Para cualquier función f que sea holomorfa en todo el plano complejo, la hiperfunción son sus valores en el eje real, que se pueden representar como o . ${\ estilo de visualización (f, 0)}$ ${\ estilo de visualización (0,-f)}$
La función de Heaviside se puede representar como una hiperfunción:

H(x)=\left({\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z),{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z)-1 \Correcto).

La función delta de Dirac se puede representar como una hiperfunción:

\left({\tfrac {1}{2\pi iz)),{\tfrac {1}{2\pi iz}}\right).

Operaciones sobre hiperfunciones

Multiplicación por una función analítica . Sea una función analítica, sea un funcional analítico . Entonces el producto se define por la fórmula . $f\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$ $u\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $fu\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $\langle fu,g\rangle =\langle u,fg\rangle ,\forall g\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$

Una hiperfunción se define por la secuencia [5] ${\ estilo de visualización fT}$ $f{\overline {T_{n}}}|\Omega _{n}$

Circunvolución. Sea un funcional holomorfo, sea una función holomorfa con topología. Entonces la convolución se define por la fórmula . La hiperfunción está definida por la secuencia [6] $u\en H'(C^{n})$ $f\in H(C^{n})$ $u*f\in H(C^{n})$ $(u*f)(z)=\langle u_{\xi },f(z-\xi )\rangle$ ${\ estilo de visualización u*T}$ ${\displaystyle (u*T_{n})|\Omega _{np))$

Véase también

función generalizada

Notas

↑ 1 2 Shapira, 1972 , pág. 5.
↑ Sato, Mikio (1959), Teoría de las hiperfunciones, I, Revista de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Tokio. Secta. 1, Matemáticas, astronomía, física, química, volumen 8 (1): 139–193
↑ Sato, Mikio (1960), Theory of Hyperfunctions, II, Revista de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Tokio. Secta. 1, Matemáticas, astronomía, física, química volumen 8 (2): 387–437
↑ Shapira, 1972 , pág. 61.
↑ Shapira, 1972 , pág. sesenta y cinco.
↑ Shapira, 1972 , pág. 66.

Literatura

Hormander L. Operadores diferenciales lineales con derivadas parciales. - M. : Mir, 1965. - 379 p.
Shapira P. Teoría de las hiperfunciones. — M .: Mir, 1972. — 141 p.
Hormander L. Análisis de operadores diferenciales lineales con derivadas parciales. Tomo I. Teoría de la distribución y análisis de Fourier. — M .: Mir, 1986. — 462 p.