Hipótesis de Herzog-Schoenheim

La conjetura de Herzog-Schönheim es un problema combinatorio en teoría de grupos planteado en 1974 por Marcel Herzog y Johanan Schoenheim [1] .

Seamos un grupo , y dejemos $GRAMO$

{\displaystyle A=\{a_{1}G_{1},\ \ldots,\ a_{k}G_{k}\))

es un sistema finito de clases laterales izquierdas de subgrupos del grupo . ${\displaystyle G_{1},\ldots,G_{k))$ $GRAMO$

Herzog y Schönheim conjeturaron que si forma una partición de un conjunto con , entonces los índices (finitos) no pueden ser todos distintos. Si se permite la repetición de índices, es fácil dividir el grupo en clases laterales izquierdas; si es cualquier subgrupo del grupo con índice , entonces se divide en clases laterales izquierdas del subgrupo . $A$ $GRAMO$ $k>1$ $[G:G_{1}],\ldots,[G:G_{k}]$ $H$ $GRAMO$ $k=[G:H]<\infty$ $GRAMO$ $k$ $H$

Subgrupos subnormales

En 2004 , Chiwei Sun demostró una versión extendida de la conjetura de Herzog-Schönheim para el caso en que son subnormales en [2] . El lema principal en la prueba de Sun dice que si son subnormales y tienen un índice finito en , entonces ${\displaystyle G_{1},\ldots,G_{k))$ $GRAMO$ ${\displaystyle G_{1},\ldots,G_{k))$ $GRAMO$

{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg]}\ {\bigg |}\ \prod_{i=1}^{k} [G:G_{i}]

y consecuentemente,

PAGS{\bigg (}{\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg )}=\bigcup _{i= 1}^{k}P([G:G_{i}]),

donde es el conjunto de divisores primos de . $P(n)$ $norte$

Teorema de Mirsky-Newman

Si es un grupo aditivo de enteros, las coclases del grupo son progresiones aritméticas . En este caso, la conjetura de Herzog-Schönheim establece que cualquier sistema de cobertura , una familia de progresiones aritméticas que juntas cubren todos los números enteros, debe cubrir algunos números más de una vez, o incluir al menos un par de progresiones que tengan la misma diferencia. Este resultado fue propuesto como una conjetura en 1950 por Pal Erdős y poco después probado por Leon Mirsky , junto con Donald J. Newman . Sin embargo, Mirsky y Newman nunca publicaron su prueba. La misma prueba fue encontrada independientemente por Harold Davenport y Richard Rado . $GRAMO$ $\matemáticas {Z}$ $GRAMO$ [3].

En 1970, se propuso en la Olimpiada Matemática Soviética un problema de coloración geométrica equivalente al teorema de Mirsky-Newman:

Suponga que los vértices de un polígono regular están coloreados de modo que los vértices de cualquier color formen un polígono regular. Entonces hay dos colores que forman polígonos iguales [3] .

Notas

↑ Herzog, Schönheim, 1974 , pág. 150.
↑ Sol, 2004 , pág. 153–175.
↑ 12 Soifer , 2008 , pág. 1–9.

Literatura

M. Herzog, J. Schönheim. Problema de investigación No. 9 // Boletín matemático canadiense. - 1974. - T. 17 . - S. 150 . . Como se cita en ( Sun 2004 )
Zhi Wei Sun. Sobre la conjetura de Herzog-Schönheim para cubiertas uniformes de grupos // Journal of Algebra. - 2004. - T. 273 , núm. 1 . — S. 153–175 . -doi : 10.1016 / S0021-8693(03)00526-X . -arXiv : matemáticas / 0306099 .
Alejandro Sofer. El libro de colorear matemático: matemáticas de colorear y la vida colorida de sus creadores . - Nueva York: Springer, 2008. - P. 1-9 . — ISBN 978-0-387-74640-1 .