Teorema de modularidad

El teorema de modularidad es un teorema matemático que establece una importante relación entre las curvas elípticas sobre el campo de los números racionales y las formas modulares , que son determinadas funciones analíticas de una variable compleja . En 1995, Andrew Wiles , con la ayuda de Richard Taylor , demostró este teorema para todas las curvas elípticas semiestables sobre el campo de los números racionales. La demostración de los casos restantes (no semiestables) del teorema fue el resultado del trabajo de Christoph Breuil. , Brian Conrado, Fred Diamantey Richard Taylor. Hasta 2001 (la demostración completa se obtuvo en 1999 ), el teorema se denominaba conjetura de Taniyama-Shimura-Weil (o conjetura de Taniyama-Shimura-Weil ).

El teorema de modularidad es parte del programa Langlands , que tiene como objetivo específico encontrar la relación de formas automórficas o representaciones automórficas (una generalización conveniente de la forma modular) con objetos más generales en geometría algebraica , como curvas elípticas sobre un campo numérico algebraico. La mayoría de las hipótesis de este programa aún no han sido probadas.

Redacción

Si es un número primo , y es una curva elíptica sobre ( el campo de los números racionales ), entonces podemos simplificar la ecuación definiendo módulo ; para cualquier conjunto finito de valores , se puede obtener una curva elíptica sobre un campo finito de elementos. Introduzcamos una sucesión , que es una invariante importante de la curva elíptica . Cualquier forma modular también nos da una secuencia de números (usando la transformada de Fourier ). Una curva elíptica cuya secuencia coincide con la de una forma modular se llama modular. $pags$ $mi$ $\matemáticas {Q}$ $mi$ $pags$ $pags$ $F_{p}$ $notario público}$ $a_{p}=n_{p}-p$ $mi$

El teorema de modularidad establece que todas las curvas elípticas son modulares. $\matemáticas {Q}$

Historia

Esta afirmación fue propuesta por primera vez como hipótesis por Yutaka Taniyama en septiembre de 1955 . Junto con Goro Shimura , refinó un poco la redacción en 1957 , pero no pudo continuar debido a problemas psicológicos [1] [2] .

En la década de 1960 , la hipótesis se incluyó en el programa Langlands para la unificación de hipótesis matemáticas. El francés Andre Weil recordó la hipótesis en la década de 1970 y comenzó su estudio activo , por lo que esta hipótesis a menudo se denomina hipótesis de Taniyama-Shimura-Weil .

La hipótesis cobró gran interés sólo cuando, en 1985, Gerhard Freisugirió que la conjetura de Taniyama-Shimura (entonces se llamaba así) es una generalización del último teorema de Fermat , porque cualquier contraejemplo al último teorema de Fermat conduciría eventualmente a una curva elíptica no modular. En 1986Ken Ribetdemostró esta suposición. En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial del teorema de Taniyama-Shimura (el caso de curvas elípticas semiestables), que fue suficiente para probar el último teorema de Fermat [3] .

El teorema de la modularidad quedó completamente demostrado en 1999 como resultado del trabajo de Christoph Breuil., Brian Conrado, Fred Diamantey Richard Taylor , quien, basándose en el trabajo de Wiles, probó los casos restantes (no semiestables).

Otros teoremas de la teoría de números se derivan del teorema de modularidad, similar al último teorema de Fermat. Por ejemplo, "el cubo de un número no puede escribirse como la suma de dos números coprimos que son la -ésima potencia de un número natural si " [4] . $norte$ $n\geqslant 3$

En marzo de 1996, Wiles recibió el Premio Wolf junto con Robert Langlands . Aunque ninguno de ellos demostró completamente el teorema, se afirmó que hicieron una contribución significativa, facilitando en gran medida la prueba adicional [5] .

Notas

↑ Stewart, 2016 , pág. 196.
↑ Taniyama se suicidó en 1958 , dejando una nota bastante críptica. Aproximadamente un mes después, su prometida Misako Suzuki se suicidó y dejó una nota que decía que debería reunirse con su prometido.
↑ Soloviev Yu.P. La conjetura de Taniyama y el último teorema de Fermat (neopr.) // Soros Educational Journal. - 1998. - Febrero. - S. 135-138 .
↑ El caso era conocido incluso por Euler y el mismo Fermat. $n=3$ $n=4$
↑ Stewart, 2016 , pág. 200.

Enlaces

Darmón, Henry. Se anuncia una prueba de la conjetura completa de Shimura-Taniyama-Weil , Notices of the American Mathematical Society, vol. 46 (1999), núm. 11. Contiene una introducción al teorema y una revisión de su demostración.
Conrad, Brian, Fred Diamond, Richard Taylor. Modularidad de ciertas representaciones potencialmente Barsotti-Tate Galois , Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521-567. Se da la demostración del teorema.

Literatura

Ian Stewart . Los mejores problemas de matemáticas. — M. : Alpina no ficción, 2016. — 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .