Programa Langlands

En matemáticas , el programa Langlands es una red de hipótesis influyentes y de gran alcance sobre las conexiones entre la teoría de números y la geometría . Fue propuesto por Robert Langlands en 1967 y 1970. Busca relacionar los grupos de Galois en la teoría algebraica de números con formas automórficas y la teoría de representación de grupos algebraicos sobre campos locales y adeles . El programa Langlands, ampliamente considerado como el proyecto más grande en la investigación matemática moderna, fue descrito por Edward Frenkelcomo "la gran teoría unificada de las matemáticas" [1] .

Langlands recibió el Premio Abel 2018 por el programa Langlands.

Contexto

El programa Langlands se basa en las ideas desarrolladas anteriormente: la filosofía de las formas parabólicas , formulada unos años antes por Harish-Chandra e Israel Gelfand en 1963, el trabajo de Harish-Chandra sobre grupos de Lie semisimples y, en términos técnicos, la fórmula de trazas de Selberg . , etc.

La principal novedad del trabajo de Langlands, además de la profundidad técnica, consistió en conjeturas sobre una conexión directa entre la teoría de las formas automórficas y la teoría de la representación con la teoría de los números, en particular, sobre la correspondencia entre los morfismos en estas teorías ( funcionalidad ).

Por ejemplo, en el trabajo de Harish-Chandra se encuentra el principio de que lo que se puede hacer por un grupo de Lie semisimple (o reductivo) debe hacerse por todos. Por lo tanto, una vez que se reconoció el papel de algunos grupos de Lie de baja dimensión, como en la teoría de las formas modulares, y en retrospectiva en la teoría del campo de clases , el camino quedó abierto al menos para la asunción del caso general .

La idea de forma de cúspide provino de cúspides sobre curvas modulares , pero también tenía un significado, visto en la teoría espectral como un espectro discreto , en contraste con el espectro continuo de la serie de Eisenstein . Se vuelve mucho más técnico para grandes grupos de Lie porque los subgrupos parabólicos son más numerosos.

En todos estos enfoques, no faltaron los métodos técnicos, a menudo de naturaleza inductiva y basados ​​en la descomposición de Levy entre otras cuestiones, pero el campo era y sigue siendo muy exigente [3] .

Del lado de las formas modulares, hubo ejemplos como las formas modulares de Hilbert , las formas modulares de Siegel y la serie theta .

Objetos de la hipótesis

Hay una serie de hipótesis de Langlands relacionadas. Hay muchos grupos diferentes en muchas áreas diferentes para las que se pueden establecer, y para cada área hay varias hipótesis diferentes [2] . Algunas versiones de las conjeturas de Langlands son indefinidas o dependen de entidades como los grupos de Langlands , cuya existencia no ha sido probada, o de un grupo L , que tiene varias definiciones no equivalentes. Además, las hipótesis de Langlands han evolucionado desde que Langlands las esbozó por primera vez en 1967.

Hay diferentes tipos de objetos para los que se pueden formular las hipótesis de Langlands:

Hipótesis

Hay varias formas diferentes de presentar las hipótesis de Langlands que están estrechamente relacionadas pero que no son obviamente equivalentes.

Reciprocidad

El punto de partida del programa puede considerarse la ley de reciprocidad de Artin , que generaliza la ley de reciprocidad cuadrática . La ley de reciprocidad de Artin es válida en cualquier extensión de Galois de un cuerpo numérico algebraico cuyo grupo de Galois sea abeliano ; asigna algunas funciones L a representaciones unidimensionales de este grupo de Galois y afirma que estas funciones L son idénticas a algunas series L de Dirichlet o series más generales construidas a partir de caracteres de Hecke (es decir, algunos análogos de la función zeta de Riemann , como las funciones de L ). La correspondencia exacta entre estos diferentes tipos de funciones L constituye la ley de reciprocidad de Artin.

Para grupos de Galois no abelianos y sus representaciones de dimensión mayor que 1, las funciones L también se pueden definir de forma natural: funciones L de Artin .

La idea de Langlands fue encontrar una generalización adecuada de las funciones L de Dirichlet que permitiera una generalización de la formulación de Artin. Hecke había asociado previamente las funciones L de Dirichlet con formas automórficas ( funciones holomorfas en el semiplano superior que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales). Langlands luego los generalizó a representaciones cuspidales automórficas , que son ciertas representaciones irreductibles de dimensión infinita del grupo lineal general sobre el anillo de adele . (Este anillo realiza un seguimiento de todas las finalizaciones simultáneamente , consulte números p-ádicos ).

Langlands relacionó las funciones L automórficas con estas representaciones automórficas y conjeturó que cada función L de Artin que surge de una representación de dimensión finita del grupo de Galois de un campo numérico es igual a alguna función L que surge de una representación cúspide automórfica. Esto se conoce como su hipótesis de reciprocidad .

En términos generales, la hipótesis de la reciprocidad da una correspondencia entre las representaciones automórficas de un grupo reductivo y los homomorfismos del grupo Langlands a los grupos L. Hay muchas variaciones de esto, en parte porque las definiciones de un grupo Langlands y un grupo L no son fijas.

Se espera que esto proporcione una parametrización de paquetes L de representaciones irreducibles admisibles de un grupo reductivo sobre un campo local. Por ejemplo, sobre el campo de los números reales, esta correspondencia es la clasificación de Langlands de representaciones de grupos reductivos reales. Sobre campos globales , esta correspondencia debería dar una parametrización de formas automórficas.

Funcionalidad

La conjetura de funcionalidad establece que un homomorfismo de grupo L adecuado debe dar una correspondencia entre formas automórficas (en el caso global) o representaciones (en el caso local). En términos generales, la conjetura de equivalencia de Langlands es un caso especial de la conjetura de funcionalidad cuando uno de los grupos reductivos es trivial.

Funcionalidad generalizada

Langlands generalizó la idea de funcionalidad: se pueden utilizar otros grupos reductores conectados en lugar del grupo lineal general . Además, al tener tal grupo , Langlands construye un grupo dual , y luego para cada representación cúspide automórfica y cualquier representación de dimensión finita , define una función L. Una de sus conjeturas establece que estas funciones L satisfacen alguna ecuación funcional que generaliza las ecuaciones funcionales de otras funciones L conocidas .

Luego formula el muy general Principio de Funcionalidad . Dados dos grupos reductivos y un (buen) morfismo entre los L -grupos correspondientes , el Principio de Funcionalidad relaciona sus representaciones automórficas para que sean compatibles con sus L -funciones. Muchas otras hipótesis existentes se derivan de esto. Esta es la naturaleza de la construcción de la representación inducida , lo que se denominaba " levantamiento " en la teoría más tradicional de las formas automórficas , conocidas en casos especiales, y por tanto covariantes (mientras que la representación restringida es contravariante). Los intentos de indicar una construcción directa han dado solo algunos resultados condicionales.

Todas estas conjeturas pueden formularse para campos más generales en lugar de : el campo de números algebraicos (el caso original y más importante), campos locales y campos de funciones (las extensiones finitas  son campos de funciones racionales sobre un campo finito con elementos).

Hipótesis geométricas

El llamado programa geométrico de Langlands, propuesto por Gerard Lomont siguiendo las ideas de Vladimir Drinfeld , surge de una reformulación geométrica del programa habitual de Langlands. En casos simples, relaciona representaciones -ádicas del grupo fundamental étale de una curva algebraica con objetos de la categoría derivada -ádicos haces en módulos de haces vectoriales sobre la curva.

Estado actual

La conjetura de Langlands para se deriva de (y es esencialmente equivalente a) la teoría del campo de clases .

Langlands demostró las conjeturas de Langlands para grupos sobre campos locales de Arquímedes y , dando la clasificación de Langlands de representaciones irreducibles sobre estos campos.

La clasificación de Lustig de representaciones irreducibles de grupos de tipo Lie sobre campos finitos puede considerarse como un análogo de las conjeturas de Langlands para campos finitos.

La demostración de Andrew Wiles de la modularidad de las curvas elípticas semiestables sobre números racionales, dada por Andrew Wiles , puede verse como un ejemplo de la conjetura de reciprocidad de Langlands, ya que la idea principal es relacionar las representaciones de Galois que surgen de las curvas elípticas con formas modulares. Aunque los resultados de Wiles se han generalizado sustancialmente en muchas direcciones diferentes, la conjetura completa de Langlands sigue sin probarse.

Laurent Lafforgue demostró el teorema de Lafforgue  , la conjetura de Langlands para el grupo lineal general de campos de funciones . Este trabajo continuó el trabajo anterior de Drinfeld, quien demostró la conjetura del caso .

Conjeturas locales de Langlands

Philip Kutsko en 1980 demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general sobre campos locales.

Gerard Lomon , Mikhail Rapoport , Ulrich Stüler en 1993 demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general para campos locales de característica positiva. Su prueba utiliza el argumento global.

Richard Taylor , Michael Harris en 2001 probaron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general para campos locales de característica 0. Guy Henniart en 2000 dio otra prueba. Ambas pruebas usan el argumento global. Peter Scholze en 2013 dio otra prueba.

Lema fundamental

En 2008, Ngo Bao Chau probó el lema fundamental , que fue propuesto originalmente por Langlands en 1983 y se requería para probar algunas conjeturas importantes en el programa de Langlands [4] [5] .

Notas

  1. ↑ Math Quartet une fuerzas en la teoría unificada . Cuanta (8 de diciembre de 2015). Consultado el 13 de julio de 2018. Archivado desde el original el 23 de junio de 2021.
  2. ↑ 1 2 Frenkel, Edward (2015), Amor y matemáticas. El corazón de la realidad oculta , Peter, ISBN 978-5-496-01121-1 
  3. ↑ "Todo es, como decía mi padre, un poco pesado: tenemos espacios de módulos de Hitchin y simetría especular, branas A, branas B, poleas automórficas... Tratar de hacer un seguimiento de todos los ingredientes puede darte fácilmente un dolor de cabeza! Créame, incluso entre los especialistas, solo unos pocos pueden presumir de comprender todos los aspectos de este diseño .
  4. ↑ Jamón Chau. Ngo Bao Chau, sommite mondiale des maths  (francés) . Le Courrier du Vietnam (15 de febrero de 2009). Consultado el 13 de julio de 2018. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2011.
  5. ↑ Langlands, Robert P. (1983), Les debuts d'une formule des traces stable , vol. 13, Publications Mathematiques de l'Universite Paris VII [Publicaciones matemáticas de la Universidad de Paris VII], París: Universite de Paris VII UER de Mathematiques , < http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopia. html#debuts > Archivado el 1 de abril de 2018 en Wayback Machine . 

Enlaces

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