Momento de inercia

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Momento de inercia
$J=\int \limits _{(m)}r^{2}\mathrm {d} m$
Dimensión	L 2 M
Unidades
SI	kg m² _ _
SGA	g cm² _ _

El momento de inercia es una cantidad física escalar , una medida de la inercia en el movimiento de rotación alrededor de un eje, así como la masa de un cuerpo es una medida de su inercia en el movimiento de traslación. Se caracteriza por la distribución de masas en el cuerpo: el momento de inercia es igual a la suma de los productos de las masas elementales y el cuadrado de sus distancias al conjunto base (punto, línea o eje).

Unidad de medida en el Sistema Internacional de Unidades (SI ) : kg m² .

Designación : I o J.

Hay varios momentos de inercia, según el tipo de conjunto base al que se miden las distancias de las masas elementales.

Momento axial de inercia

El momento de inercia de un sistema mecánico relativo a un eje fijo (“momento de inercia axial”) es el valor de J a , igual a la suma de los productos de las masas de todos los n puntos materiales del sistema y los cuadrados de sus distancias al eje [1] :

J_{a}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},

dónde:

m i es la masa del i - ésimo punto,
r i es la distancia del i -ésimo punto al eje.

El momento de inercia axial del cuerpo J a es una medida de la inercia del cuerpo en movimiento de rotación alrededor del eje, así como la masa de un cuerpo es una medida de su inercia en movimiento de traslación .

J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,

dónde:

dm = ρ dV es la masa de un elemento de pequeño volumen del cuerpo dV , ρ es la densidad, r es la distancia del elemento dV al eje a .

Si el cuerpo es homogéneo, es decir, su densidad es la misma en todas partes, entonces

J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.

Teorema de Huygens-Steiner

El momento de inercia de un cuerpo rígido con respecto a cualquier eje depende de la masa , forma y tamaño del cuerpo, así como de la posición del cuerpo con respecto a este eje. De acuerdo con el teorema de Huygens-Steiner, el momento de inercia de un cuerpo J con respecto a un eje arbitrario es igual a la suma del momento de inercia de este cuerpo J c con respecto a un eje que pasa por el centro de masa del cuerpo paralelo a la eje considerado, y el producto de la masa corporal m por el cuadrado de la distancia d entre los ejes [1] :

J=J_{c}+md^{2},

donde m es la masa total del cuerpo.

Por ejemplo, el momento de inercia de una barra con respecto a un eje que pasa por su extremo es:

J=J_{c}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^ {2}={\ fracción {1}{3}}ml^{2}.

Momentos axiales de inercia de algunos cuerpos

Momentos de inercia de cuerpos homogéneos de la forma más simple sobre algunos ejes de rotación

Descripción	una posición del eje	Momento de inercia J a
Material punto de masa m	A una distancia r del punto, fijo	$señor^{2}$
Cilindro hueco de pared delgada o anillo de radio r y masa m	Eje del cilindro	$señor^{2}$
Cilindro macizo o disco de radio r y masa m	Eje del cilindro	${\frac {1}{2}}señor^{2}$
Cilindro hueco de pared gruesa de masa m con radio exterior r 2 y radio interior r 1	Eje del cilindro	$m{\frac {r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}{2}}$ [Comunicador 1]
Cilindro macizo de longitud l , radio r y masa m	El eje es perpendicular a la generatriz del cilindro y pasa por su centro de masa	${1 \sobre 4}m\cdot r^{2}+{1 \sobre 12}m\cdot l^{2}$
Cilindro hueco de pared delgada (anillo) de longitud l , radio r y masa m	El eje es perpendicular al cilindro y pasa por su centro de masa	${1 \sobre 2}m\cdot r^{2}+{1 \sobre 12}m\cdot l^{2}$
Varilla delgada recta de longitud l y masa m	El eje es perpendicular a la barra y pasa por su centro de masa	${\ fracción {1}{12}}ml^{2}$
Varilla delgada recta de longitud l y masa m	El eje es perpendicular a la varilla y pasa por su extremo.	${\ fracción {1}{3}}ml^{2}$
Esfera de paredes delgadas de radio r y masa m	El eje pasa por el centro de la esfera.	${\frac {2}{3}}señor^{2}$
Bola de radio r y masa m	El eje pasa por el centro de la bola.	${\frac {2}{5}}señor^{2}$
Cono de radio r y masa m	eje del cono	${\frac {3}{10}}señor^{2}$
Triángulo isósceles de altura h , base a y masa m	El eje es perpendicular al plano del triángulo y pasa por el vértice (en altura)	${\ fracción {1}{24}}m(a^{2}+12h^{2})$
Triángulo regular de lado a y masa m	El eje es perpendicular al plano del triángulo y pasa por el centro de masa	${\frac{1}{12}}ma^{2}$
Cuadrado de lado a y masa m	El eje es perpendicular al plano del cuadrado y pasa por el centro de masa	${\frac{1}{6}}ma^{2}$
Rectángulo de lados a y b y masa m	El eje es perpendicular al plano del rectángulo y pasa por el centro de masa	${\ fracción {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})$
N-ágono regular de radio r y masa m	El eje es perpendicular al plano y pasa por el centro de masa	${\frac {mr^{2}}{6}}\left[1+2\cos(\pi /n)^{2}\right]$
Toro (hueco) con radio de círculo guía R , radio de generatriz r y masa m	El eje es perpendicular al plano del círculo guía del toro y pasa por el centro de masa	$I=m\left({\frac {3}{4}}\,r^{2}+R^{2}\right)$

Derivación de fórmulas

Cilindro de pared delgada (anillo, aro)

Derivación de fórmulas

El momento de inercia de un cuerpo es igual a la suma de los momentos de inercia de sus partes constituyentes. Dividamos un cilindro de paredes delgadas en elementos con masa dm y momentos de inercia dJ i . Después

J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).

Dado que todos los elementos de un cilindro de pared delgada están a la misma distancia del eje de rotación, la fórmula (1) se convierte a la forma

J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.

Cilindro de paredes gruesas (anillo, aro)

Derivación de fórmulas

Sea un anillo homogéneo con radio exterior R , radio interior R 1 , espesor h y densidad ρ . Dividámoslo en anillos delgados de espesor dr . La masa y el momento de inercia de un anillo delgado de radio r serán

dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.

Encontramos el momento de inercia de un anillo grueso como una integral

J=\int _{R_{1}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=

=2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{R_{1}}^{R}={\frac {1}{2 }}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2 }-R_{1}^{2}\derecha)\izquierda(R^{2}+R_{1}^{2}\derecha).

Como el volumen y la masa del anillo son iguales

V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1 }^{2}\derecho)h,

obtenemos la fórmula final para el momento de inercia del anillo

J={\frac{1}{2}}m\izquierda(R^{2}+R_{1}^{2}\derecha).

Disco homogéneo (cilindro sólido)

Derivación de fórmulas

Considerando el cilindro (disco) como un anillo con radio interior cero ( R 1 = 0 ), obtenemos la fórmula para el momento de inercia del cilindro (disco):

J={\frac{1}{2}}mR^{2}.

cono solido

Derivación de fórmulas

Dividamos el cono en discos delgados de espesor dh perpendiculares al eje del cono. El radio de tal disco es

r={\frac{Rh}{H}},

donde R es el radio de la base del cono, H es la altura del cono, h es la distancia desde la parte superior del cono al disco. La masa y el momento de inercia de dicho disco serán

dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;

dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}} \pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;

Integrando, obtenemos

{\begin{alineado}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right) ^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right )^{4}\left.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R ^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}= {\frac{3}{10}}mR^{2}.\end{alineado}}

Bola uniforme sólida

Derivación de fórmulas

Dividamos la bola en discos delgados de espesor dh perpendiculares al eje de rotación. El radio de dicho disco, ubicado a una altura h desde el centro de la esfera, se puede encontrar mediante la fórmula

r={\raíz cuadrada {R^{2}-h^{2}}}.

La masa y el momento de inercia de dicho disco serán

dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;

dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}} \pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}- 2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh.

El momento de inercia de la pelota se encuentra por integración:

{\begin{alineado}J&=\int_{-R}^{R}dJ=2\int_{0}^{R}dJ=\pi \rho \int_{0}^{R}\left (R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{ \frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}= \pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\ fracción {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot { \frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{alineado}}

esfera de paredes delgadas

Derivación de fórmulas

Para derivar, usamos la fórmula para el momento de inercia de una bola homogénea de radio R :

J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.

Calculemos cuánto cambiará el momento de inercia de la pelota si, a una densidad constante ρ , su radio aumenta en un valor infinitesimal dR .

{\begin{alineado}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\ pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ {2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{alineado}}

Varilla delgada (el eje pasa por el centro)

Derivación de fórmulas

Partamos la varilla en pequeños fragmentos de longitud dr . La masa y el momento de inercia de tal fragmento es

dm={\frac {mdr}{l));\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l)).

Integrando, obtenemos

J=\int_{-l/2}^{l/2}dJ=2\int_{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l))\int_{0} ^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\left.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l /2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.

Varilla delgada (el eje pasa por el extremo)

Derivación de fórmulas

Al mover el eje de rotación desde el centro de la barra hasta su extremo, el centro de gravedad de la barra se mueve en relación con el eje una distancia l ⁄ 2 . Según el teorema de Steiner, el nuevo momento de inercia será igual a

J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}} ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.

Momentos de inercia adimensionales de los planetas y sus satélites [2] [3] [4]

Momentos adimensionales de inercia de planetas y satélites

De gran importancia para los estudios de la estructura interna de los planetas y sus satélites son sus momentos de inercia adimensionales. El momento de inercia adimensional de un cuerpo de radio r y masa m es igual a la relación de su momento de inercia con respecto al eje de rotación al momento de inercia de un punto material de la misma masa con respecto a un eje de rotación fijo ubicado en una distancia r (igual a mr 2 ). Este valor refleja la distribución de la masa en profundidad. Uno de los métodos para medirlo en planetas y satélites es determinar el desplazamiento Doppler de la señal de radio transmitida por el AMS que vuela alrededor de un planeta o satélite determinado. Para una esfera de paredes delgadas, el momento de inercia adimensional es igual a 2/3 (~0,67), para una bola homogénea es 0,4 y, en general, cuanto más pequeña, mayor es la masa del cuerpo concentrada en su centro. Por ejemplo, la Luna tiene un momento de inercia adimensional cercano a 0,4 (igual a 0,391), por lo que se supone que es relativamente homogénea, su densidad cambia poco con la profundidad. El momento de inercia adimensional de la Tierra es menor que el de una bola homogénea (igual a 0,335), lo que es un argumento a favor de la existencia de un núcleo denso [5] [6] .

Momento centrífugo de inercia

Los momentos centrífugos de inercia de un cuerpo con respecto a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son las siguientes cantidades [1] [7] :

J_{xy}=\int \limits_{(m)}xydm=\int \limits_{(V)}xy\rho dV,

J_{xz}=\int \limits_{(m)}xzdm=\int \limits_{(V)}xz\rho dV,

J_{yz}=\int \limits_{(m)}yzdm=\int \limits_{(V)}yz\rho dV,

donde x , y y z son las coordenadas de un pequeño elemento del cuerpo con volumen dV , densidad ρ y masa dm .

El eje OX se denomina eje principal de inercia del cuerpo , si los momentos centrífugos de inercia J xy y J xz son simultáneamente iguales a cero. Se pueden dibujar tres ejes principales de inercia a través de cada punto del cuerpo. Estos ejes son mutuamente perpendiculares entre sí. Los momentos de inercia del cuerpo relativos a los tres ejes principales de inercia dibujados en un punto arbitrario O del cuerpo se denominan momentos principales de inercia de este cuerpo [7] .

Los ejes de inercia principales que pasan por el centro de masa del cuerpo se denominan ejes de inercia centrales principales del cuerpo , y los momentos de inercia con respecto a estos ejes se denominan momentos de inercia centrales principales . El eje de simetría de un cuerpo homogéneo es siempre uno de sus principales ejes centrales de inercia [7] .

Momentos geométricos de inercia

El momento geométrico de inercia del volumen con respecto al eje es la característica geométrica del cuerpo, expresada por la fórmula [8] :

J_{Va}=\int \limits_{(V)}r^{2}dV,

donde, como antes, r es la distancia del elemento dV al eje a .

La dimensión de J Va es la longitud a la quinta potencia ( ), respectivamente, la unidad SI es m 5 . $\mathrm {tenue} J_{Va}=\mathrm {L^{5}}$

El momento geométrico de inercia del área con respecto al eje es la característica geométrica del cuerpo, expresada por la fórmula [8] :

J_{Sa}=\int \limits_{(S)}r^{2}dS,

donde la integración se realiza sobre la superficie S y dS es un elemento de esta superficie.

La dimensión de J Sa es la longitud a la cuarta potencia ( ), respectivamente, la unidad SI es m 4 . En cálculos de construcción, literatura y surtidos de metal laminado , se suele indicar en cm 4 . $\mathrm {tenue} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}}$

A través del momento geométrico de inercia del área , se expresa el momento de resistencia de la sección :

W={\frac{J_{Sa}}{r_{max}}}.

Aquí r max es la distancia máxima desde la superficie hasta el eje.

Momentos geométricos de inercia del área de algunas figuras.
Altura y ancho del rectángulo : $h$ $b$	$J_{y}={\frac{bh^{3}}{12}}$ $J_{z}={\frac{hb^{3}}{12}}$
Sección de caja rectangular con altura y anchura a lo largo de los contornos exteriores y , y a lo largo de los contornos interior y respectivamente $H$ $B$ $h$ $b$	$J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3 }-bh^{3})$ $J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3 }-hb^{3})$
Diámetro del círculo $d$	$J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

Momento de inercia respecto a un plano

El momento de inercia de un cuerpo rígido con respecto a cierto plano se denomina valor escalar igual a la suma de los productos de la masa de cada punto del cuerpo y el cuadrado de la distancia de este punto al plano considerado [9 ] .

Si dibujamos ejes de coordenadas a través de un punto arbitrario , entonces los momentos de inercia relativos a los planos de coordenadas , y se expresarán mediante las fórmulas: $O$ $x, y, z$ $xOy$ $yOz$ $zox$

J_{xOy}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,

J_{yOz}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,

J_{zOx}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .

En el caso de un cuerpo sólido, la suma se reemplaza por la integración.

Momento central de inercia

El momento de inercia central ( momento de inercia con respecto al punto O, momento de inercia con respecto al polo, momento de inercia polar ) es una cantidad definida por la expresión [9] : $J_{O}$

J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,

dónde:

$dm=\rho dV$ es la masa de un elemento de pequeño volumen del cuerpo , $dV$
$\rho$ - densidad,
$r$ es la distancia del elemento al punto O. $dV$

El momento de inercia central puede expresarse a través de los principales momentos de inercia axial, así como a través de los momentos de inercia relativos a los planos [9] :

J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),

J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.

El tensor de inercia y el elipsoide de inercia

El momento de inercia de un cuerpo alrededor de un eje arbitrario que pasa por el centro de masa y tiene una dirección dada por un vector unitario se puede representar como una forma cuadrática (bilineal) : ${\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\ derecha\vert=1$

I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad

(una)

donde es el tensor de inercia . La matriz del tensor de inercia es simétrica, tiene dimensiones y consta de componentes de momento centrífugo: ${\ estilo de visualización {\ sombrero {J}}}$ $3\veces 3$

{\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy }&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{matriz}}\right\Vert ,

J_{xy}=J_{yx},\quad J_{xz}=J_{zx},\quad J_{zy}=J_{yz},\quad

J_{xx}=\int \limits_{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,\quad J_{yy}=\int \limits_{(m)} (x^{2}+z^{2})dm,\quad J_{zz}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm.

Al elegir un sistema de coordenadas apropiado, la matriz del tensor de inercia se puede reducir a una forma diagonal. Para hacer esto, debe resolver el problema de valores propios para la matriz tensorial : ${\ estilo de visualización {\ sombrero {J}}}$

{\sombrero {J}}_{d}={\sombrero {Q}}^{T}\cdot {\sombrero {J}}\cdot {\sombrero {Q}},

{\hat {J}}_{d}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\\0&J_{Y}&0\\0&0&J_{Z}\end{array }}\derecha\Vert ,

donde es la matriz de transición ortogonal a la base propia del tensor de inercia. En su propia base, los ejes de coordenadas están dirigidos a lo largo de los ejes principales del tensor de inercia y también coinciden con los semiejes principales del elipsoide del tensor de inercia. Las cantidades son los principales momentos de inercia. La expresión (1) en su propio sistema de coordenadas tiene la forma: ${\ estilo de visualización {\ sombrero {Q}}}}$ ${\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z))$

I_{s}=J_{X}\cdot s_{x}^{2}+J_{Y}\cdot s_{y}^{2}+J_{Z}\cdot s_{z}^{ 2},

de donde se obtiene la ecuación del elipsoide en coordenadas propias. Dividiendo ambos lados de la ecuación por ${\ Displaystyle I_ {s}}$

\left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s))))\right)^{2}\cdot J_{X}+\left({s_{y} \over {\ sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Y}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2 }\cdot J_{Z}=1

y haciendo las sustituciones:

\xi ={s_{x} \over {\sqrt {I_{s)))),\eta ={s_{y} \over {\sqrt {I_{s)))),\zeta = {s_{z} \over {\sqrt {I_{s)))),

obtenemos la forma canónica de la ecuación del elipsoide en coordenadas : ${\ estilo de visualización \ xi \ eta \ zeta}$

\xi ^{2}\cdot J_{X}+\eta ^{2}\cdot J_{Y}+\zeta ^{2}\cdot J_{Z}=1.

La distancia del centro del elipsoide a alguno de sus puntos está relacionada con el valor del momento de inercia del cuerpo a lo largo de una recta que pasa por el centro del elipsoide y este punto:

r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s))} }\right)^{2}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s))))\right)^{2}+\left({s_{z} \over {\ sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}={1 \over I_{s}}.

Véase también

Comentarios

↑ El uso correcto del signo "+" en esta fórmula se puede verificar comparando los momentos de inercia de un cilindro hueco de pared gruesa y sólido con las mismas masas. En efecto, la masa del primero de estos cilindros está concentrada en promedio más lejos del eje que la del segundo, y por lo tanto el momento de inercia de este cilindro debe ser mayor que el de uno sólido. Es esta relación de momentos de inercia la que proporciona el signo "+". Por otro lado, en el límite, como r 1 tiende a r 2 , la fórmula para un cilindro hueco de paredes gruesas debe tomar la misma forma que la fórmula para un cilindro hueco de paredes delgadas . Obviamente, tal transición ocurre solo cuando se usa una fórmula con un signo "+".

Notas

↑ 1 2 3 Targ S. M. Momento de inercia // Enciclopedia Física / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1992. - T. 3. - S. 206-207. — 672 pág. - 48.000 ejemplares. — ISBN 5-85270-019-3 .
↑ Hoja de datos planetarios . Consultado el 31 de agosto de 2010. Archivado desde el original el 14 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. Los satélites galileanos // Ciencia . - 1999. - vol. 286 , núm. 5437 . - Pág. 77-84 . -doi : 10.1126 / ciencia.286.5437.77 . —PMID 10506564 .
↑ Margot, Jean-Luc; et al. Momento de inercia de Mercurio a partir de datos de giro y gravedad // Revista de investigación geofísica : diario. - 2012. - vol. 117 . -doi : 10.1029/ 2012JE004161 .
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↑ 1 2 3 Targ S. M. Un curso breve de mecánica teórica. - M. : " Escuela Superior ", 1995. - S. 269-271. — 416 pág. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 Buchholz N. N. El curso principal de mecánica teórica. - 4ª ed. - M. : " Nauka ", 1966. - T. 2. - S. 131.
↑ 1 2 3 Yablonsky A. A. Dynamics // Curso de Mecánica Teórica. - 3ra ed. - M. : " Escuela Superior ", 1966. - T. II. - Art. 102-103. — 411 pág.

Literatura

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Aleshkevich V. A., Dedenko L. G., Karavaev V. A. Mecánica de cuerpos rígidos. Conferencias. Copia de archivo fechada el 7 de enero de 2014 en la Editorial Wayback Machine de la Facultad de Física de la Universidad Estatal de Moscú, 1997.
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Yavorsky B. M. , Detlaf A. A. Física para estudiantes de secundaria y quienes ingresan a la universidad: un libro de texto - M .: Bustard, 2002, 800s. ISBN 5-7107-5956-3
Sivukhin DV Curso general de física. En 5 tomos Tomo I. Mecánica. 4ª ed. Moscú: FIZMATLIT; Editorial MIPT, 2005. - 560 p.
Belyaev N. M. Resistencia de los materiales. La edición principal de la literatura física y matemática de la editorial "Nauka", 1976. - 608 p.

Enlaces

Determinación del momento de inercia de cuerpos de forma simple .

sitios temáticos	Laboratorio de ciencia
diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran noruego gran ruso Brockhaus y Efron Nuevo V.Dahl Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4127020-4 J9U : 987007541141405171 LCCN : sh85086657 NKC : ph554023