Grupo Baumslag - Solitario

El grupo Baumslag-Solitaire es un grupo con dos generadores y una relación $a$ $b$

ab^{m}a^{-1}=b^{n}.

Por lo general, este grupo generalmente se denota . ${\ Displaystyle BS (m, n)}$

Ejemplos y propiedades

${\ estilo de visualización BS (1,1)}$ es un grupo abeliano libre con dos generadores,
${\ estilo de visualización BS (1, -1)}$ grupo fundamental de la botella de Klein
${\ estilo de visualización BS (1, n)}$ es isomorfo a un subgrupo del grupo de transformaciones afines de la recta real generada por las aplicaciones y . $n>1$ $a:x\to nx$ ${\ estilo de visualización b: x \ a x + 1}$
El grupo (junto con otros grupos para los cuales los conjuntos de divisores primos de m y n no coinciden) es el ejemplo más famoso de un grupo no hopfiano [1] . Es decir, un epimorfismo no es un automorfismo . ${\ estilo de visualización BS (2,3)}$ ${\ Displaystyle BS (m, n)}$ ${\displaystyle \varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2))$ ${\ estilo de visualización BS (2,3)}$
El grupo permite una representación lineal y . ${\ Displaystyle BS (n, m)}$ ${\displaystyle a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$ ${\displaystyle b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$
- Esta representación no es eficiente , es decir, diferentes elementos del grupo pueden corresponder al mismo operador lineal.
Un grupo es residualmente finito si y solo si , o [2] ${\ Displaystyle BS (m, n)}$ ${\ estilo de visualización | m | = 1}$ ${\ estilo de visualización | n | = 1}$ ${\ estilo de visualización | m | = | n |}$

↑ DJ Collins (2001), " Baumslag-Solitar group Archivado el 26 de junio de 2010 en Wayback Machine ", en Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
↑ Stephen Meskin, Grupos de relación única finitos no residuales

DJ Collins (2001), " Grupo Baumslag-Solitar Archivado el 26 de junio de 2010 en Wayback Machine ", en Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
Gilbert Baumslag y Donald Solitar, algunos grupos no hopfianos de dos generadores y un relator Archivado el 29 de noviembre de 2015 en Wayback Machine , Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199-201. SEÑOR : 0142635