Objeto de grupo

Un objeto de grupo es una generalización del concepto de grupo a un objeto de una categoría arbitraria , en muchos casos un objeto de grupo puede entenderse como un grupo con una estructura adicional. Un ejemplo típico es un grupo topológico , que tiene una estructura espacial topológica consistente con la estructura del grupo, en el sentido de que la operación del grupo es continua .

Definición

Sea C una categoría con un objeto terminal 1 en el que para cualesquiera dos objetos existe su producto . Un objeto de grupo en C es un objeto G de categoría C junto con un triple de morfismos :

m : G × G → G (el morfismo correspondiente a la "operación de grupo")
e : 1 → G ("incrustación de elemento de identidad")
inv : G → G ("tomando el elemento inverso"),

para lo cual deben cumplirse las siguientes propiedades (correspondientes a los axiomas del grupo):

m es asociativo, es decir, y es el mismo morfismo (aquí identificamos canónicamente y ); $m\circ (m\times\mathrm{id}_G)$ $m\circ (\mathrm{id}_G \times m)$ $G\veces G\veces G\a G$ $(G\veces G)\veces G$ $G\veces (G\veces G)$
e es un elemento bilateralmente neutral , es decir, donde es la proyección natural sobre el segundo factor, y donde es la proyección natural sobre el primer factor; $m\circ (e\times \mathrm{id}_G) = p_2,$ $p_2: 1\veces G\to G$ $m\circ (\mathrm{id}_G\times e) = p_1,$ $p_1: G\veces 1\a G$
el elemento inverso es de hecho un inverso, es decir, si d : G → G × G es un mapeo diagonal y e G : G → G es la composición del único morfismo G → 1 y el morfismo e , entonces $m\circ (\mathrm{id}_G\times \mathrm{inv})\circ d=m\circ (\mathrm{inv}\times \mathrm{id}_G)\circ d=e_G.$

Ejemplos

Los grupos son exactamente objetos de grupo en la categoría de conjuntos . Aquí m es una operación de multiplicación binaria, e es una función que envía el conjunto único al elemento de identidad del grupo, inv asigna el elemento inverso al elemento de grupo y e G envía todos los elementos del grupo a la identidad.
Un grupo topológico es un objeto de grupo en la categoría de espacios topológicos y mapeos continuos .
El grupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de variedades suaves y mapeos suaves .
Un grupo algebraico es un objeto de grupo en la categoría de variedades algebraicas y aplicaciones regulares . En la geometría algebraica moderna , también se considera un concepto más general de un esquema de grupo : un objeto de grupo en la categoría de esquemas .
Los objetos de grupo en la categoría de grupos son exactamente grupos abelianos . En efecto, si G es un grupo abeliano, entonces m , e e inv , definidos de la forma habitual, satisfacen las propiedades de un objeto grupo (en particular, dado que el grupo G es abeliano , se sigue que inv es un homomorfismo ). Por el contrario, si ( G , m , e , inv ) es un objeto de grupo en la categoría de grupos, se puede demostrar que la operación m es la misma que la operación original sobre el grupo G , lo que implica que e e inv también son definido de la forma habitual. Véase también el argumento de Eckmann-Hilton.
Si C es una categoría con coproductos finitos (en particular, siendo el objeto inicial 0 el coproducto del conjunto vacío de objetos), el objeto cogrupo de la categoría C es un objeto de G junto con los siguientes morfismos: "comultiplicación" m : G → G G, "counit" e : G → 0 y la “co-inversión” inv : G → G , que satisfacen axiomas duales a los axiomas del objeto grupal enumerados anteriormente. Los objetos de cogrupo surgen naturalmente en la topología algebraica . $\oplus$

Véase también

Las álgebras de Hopf pueden verse como una generalización de objetos grupales a una categoría monoide arbitraria .

Enlaces

Bucur I., Deleanu A. Introducción a la teoría de categorías y funtores. — M.: Mir, 1972. — 259 p.
Lang, Serge (2002), Álgebra. - Textos de posgrado en matemáticas 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag - ISBN 978-0-387-95385-4 .