Valor descontado

Valor descontado (presente, actual) : una estimación del valor (equivalente de efectivo actual) del flujo futuro de pagos basado en el valor diferente del dinero recibido en diferentes momentos ( el concepto del valor del dinero en el tiempo ). Una cantidad de dinero recibida hoy suele tener un valor mayor que la misma cantidad recibida en el futuro. Esto se debe a que el dinero recibido hoy puede generar ingresos en el futuro luego de su inversión. Además, el dinero recibido en el futuro en términos de inflación se deprecia (por la misma cantidad en el futuro se puede comprar una menor cantidad de bienes y servicios). También hay otros factores que reducen el costo de los pagos futuros. La disparidad de diferentes cantidades de dinero se expresa numéricamente en la tasa de descuento .

El valor descontado de una cantidad futura es igual a la cantidad de dinero que, si se invierte ahora (con un rendimiento igual a la tasa de descuento ), en el futuro (al mismo tiempo) se recibirá la cantidad . El valor descontado de un flujo de pagos es igual a la suma de los valores descontados de los pagos individuales incluidos en este flujo. En realidad, es igual al valor descontado del valor futuro del flujo de efectivo (la cantidad que se recibirá en el futuro si el flujo de efectivo se invierte en el momento de recibir los pagos a la tasa de descuento). $X$ $X$

El valor presente es ampliamente utilizado en economía y finanzas como una herramienta para comparar los flujos de pago recibidos en diferentes momentos. El modelo de valor presente le permite determinar cuánta inversión financiera está dispuesto a hacer un inversionista para recibir un flujo de efectivo determinado. El valor presente del flujo futuro de pagos es una función de la tasa de descuento, que se puede determinar en función de:

rendimiento de inversiones alternativas;
el costo de atraer (pedir prestado) fondos;
inflación ;
el período después del cual se espera el flujo futuro de pagos;
el riesgo asociado con un flujo de pagos futuro dado;
otros factores.

La cifra del valor actual se utiliza como base para el cálculo de la amortización de los préstamos financieros.

El valor del dinero cambia con el tiempo. 100 rublos recibidos después de cinco años tienen un valor diferente (en la mayoría de los casos, menor) que los 100 rublos disponibles. Los fondos disponibles se pueden invertir en un depósito bancario o en cualquier otro instrumento de inversión, lo que generará ingresos por intereses . Eso es 100 rublos. hoy, da 100 rublos. más los ingresos por intereses después de cinco años. Además, por los 100 rublos disponibles. puedes comprar un producto que en cinco años tendrá un precio más alto debido a la inflación. Por lo tanto, 100 rublos. en cinco años no se les permitirá comprar el mismo producto. En este ejemplo, el indicador de valor descontado le permite calcular cuánto valen hoy 100 rublos, que se recibirán dentro de cinco años.

Acumulación y descuento de intereses

Invierta cierta cantidad de dinero a una tasa por unidad de tiempo (día, mes, trimestre, año). Se supone que el interés se devenga y capitaliza en cada unidad de tiempo y se reinvierte realmente. Luego, en un momento futuro , se recibirá la cantidad , calculada utilizando la fórmula de interés compuesto: $fotovoltaica$ $i$ $t$ $FV_{t}$

{\displaystyle FV_{t}=VP(1+i)^{t))

En consecuencia, si se da una suma de dinero para algún momento futuro , es posible calcular la cantidad que debe invertirse a una tasa para recibir en ese momento, de la siguiente manera: $FV_{t}$ $t$ $fotovoltaica$ $i$ $FV_{t}$

PV=FV_{t}(1+i)^{-t}\,={\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}

El valor se denomina valor descontado (dado, actual) de la cantidad futura , y la tasa es la tasa de descuento . La misma operación de encontrar el valor presente de la cantidad futura se llama descuento . $fotovoltaica$ $FV_{t}$ $i$

En el caso general, la suma se puede reducir a cualquier momento (no solo al actual):

$PV_{t_{0}}={\frac{FV_{t}}{(1+i)^{t-t_{0}}}}$

Llevar diferentes cantidades al mismo punto en el tiempo las hace comparables (equivalentes) en términos del concepto del valor del dinero en el tiempo . Se supone que es posible invertir cualquier monto en cualquier momento en algún instrumento (por ejemplo, un depósito bancario) con un rendimiento de . La naturaleza del instrumento no es significativa, solo importa el rendimiento a riesgo comparable. Si se utiliza como valor la inflación, se trata de inversiones en bienes y servicios que se están encareciendo. Puede ser el costo de atraer (pedir prestado) dinero. $i$ $i$ $i$

Ejemplo

Si después de 1 año se espera la cantidad de 121 rublos, a una tasa de descuento del 10% anual, el valor descontado será igual a rublos. Si se espera la misma cantidad solo después de dos años, entonces el valor presente es Rs. ${\ estilo de visualización 121/(1+0{,}1)=110}$ ${\ estilo de visualización 121/(1+0{,}1)^{2}=121/1{,}21=100}$

En las hojas de cálculo, las funciones financieras incluyen una función para calcular el valor actual. OpenOffice.org Calc utiliza la función PV para calcular el valor actual de varios tipos de pagos.

Valor descontado de los flujos de caja

Flujo de caja

El flujo de efectivo es el movimiento de efectivo distribuido en el tiempo. En muchos casos (depósitos, préstamos, valores, etc.), el flujo de caja es un conjunto ordenado en el tiempo de cantidades de dinero (pagos); este es el llamado flujo de caja discreto o flujo de pago . Así, el flujo de pagos , donde se encuentra el pago realizado en el momento ,. En este caso, formalmente, n también puede ser infinito (un flujo infinito de pagos). Si los pagos se realizan a intervalos regulares, a veces ese flujo de pagos se denomina renta financiera. Una anualidad con un pago constante se denomina anualidad (en algunas fuentes, la anualidad financiera y la anualidad son conceptos equivalentes). $CF=(CF_{1},CF_{2},....,CF_{n})$ ${\ Displaystyle CF_ {k}}$ $gracias$ ${\ estilo de visualización k = 1.. n}$

En algunos casos, la frecuencia de los pagos puede ser tan grande que el flujo de caja puede considerarse continuo . En particular, este es el caso de los flujos de efectivo de las actividades operativas ordinarias de las empresas, los flujos de proyectos de inversión , etc. Formalmente, para los flujos continuos, se puede introducir la función de densidad de flujo . Sin embargo, en la práctica, el tiempo continuo se reemplaza por el tiempo discreto. Es decir, el período analizado se divide en períodos iguales (mes, trimestre, año) y cada período recibe un número secuencial (es decir, tiempo discreto). Entonces, el flujo de efectivo para cada uno de esos períodos es en realidad un pago en un momento discreto correspondiente a este período. Así, el flujo continuo se reduce, más precisamente modelado como un flujo discreto (flujo de pago) descrito anteriormente. A menudo, esto también se interpreta como pagos realizados al final del período relevante: este es el llamado flujo postnumerando . En algunos casos, los flujos se tratan como pagos al comienzo de cada período: el flujo prenumerando . ${\ estilo de visualización c (t)}$ ${\ Displaystyle CF_ {t}}$

Por lo tanto, podemos suponer que el flujo de caja CF siempre viene dado por un conjunto ordenado de cantidades de dinero , elementos del flujo de caja (pagos). ${\ Displaystyle CF_ {t}}$

El valor actual del flujo de pago

El valor descontado del flujo de pago , donde es el pago realizado en el momento , es igual a la suma de los valores descontados de cada uno de los componentes del flujo: $CF=(CF_{1},CF_{2},....,CF_{n})$ ${\ Displaystyle CF_ {k}}$ $gracias$ ${\ estilo de visualización k = 1.. n}$

PV=\sum_k=1}^{n}{{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}\,}

Derivación de fórmulas

Las sumas y se refieren al mismo punto en el tiempo y se pueden reducir al momento actual dividiendo por $CF_{1}$ ${\ estilo de visualización (CF_{2}, CF_{3},....)}$ ${\displaystylePV_{1}^{*}}$ $CF_{1}$ ${\displaystylePV_{1}^{*}}$ ${\ estilo de visualización (1 + i) ^ {t_ {1}}}$

$PV_{0}={\frac {CF_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}}+{\frac {PV_{1}^{*}}{(1+ yo)^{t_{1}}}}}$

De manera similar, podemos dividir el flujo residual en un pago y el flujo restante después y obtener $CF_{2}$ $t_{2}$

$PV_{1}^{*}={\frac {CF_{2}}{(1+i)^{t_{2}-t_{1}}}}+{\frac {PV_{2} ^{*}}{(1+i)^{t_{2}-t_{1}}}}$

Sustituyendo esto en la primera fórmula, obtenemos

$PV_{0}={\frac {CF_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}}+{\frac {CF_{2}}{(1+i)^{ t_{2))))+{\frac{PV_{2}^{*}}{(1+i)^{t_{2}}}}$

Procediendo de manera similar y más hasta el último pago, finalmente obtenemos la fórmula para el valor descontado de todo el flujo de efectivo

$PV=\sum_k=1}^{n}{\frac {CF_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}}$

Interpretación

Al invertir el monto del período hasta la apuesta , el monto eventualmente se recibirá: $fotovoltaica$ ${\ estilo de visualización t>=t_{n))$ $i$

$FV=PV*(1+i)^{t}=\sum_{k=1}^{n}CF_{k}(1+i)^{t-t_{k))$

Por lo tanto, esta cantidad es igual a la cantidad que se recibirá en el mismo momento si los elementos individuales del flujo se invierten secuencialmente a la misma tasa hasta el momento t. Así, el valor actual del flujo de efectivo es igual al valor actual del monto acumulado de este flujo.

Si los pagos se realizan a intervalos regulares, la fórmula se puede escribir sin un índice de numeración de pago adicional . Tiempo y simplemente representará el número de pago: $k$ $t$

{\displaystyle PV=\sum_{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+i)^{t))))

Cabe señalar que en estas fórmulas el tiempo se mide en unidades del período de la tasa de descuento i . Por lo general, la tasa se da anualmente y el tiempo se puede dar en días, meses, trimestres, etc. En este caso, se debe usar como tiempo la relación entre el tiempo en unidades dadas y la duración del año en las mismas unidades (por ejemplo, , si el pago vence en un trimestre, entonces es 0,25 años). Si los pagos se realizan a intervalos regulares, puede volver a calcular la tasa para este período utilizando la fórmula de interés compuesto: , donde T es la duración del año en unidades de este período (por ejemplo, para un pago mensual es 12, para un pago trimestral es 4, etc.). ${\ estilo de visualización i'=(1+i)^{1/T}-1}$

Ejemplo

Hay un bono con un valor nominal de 1000 rublos con un vencimiento de 1 año y un cupón trimestral de 20 rublos, que corresponde a una tasa de cupón del 8% anual (20 x 4/1000 = 0,08). El propietario del bono recibe 20 rublos en los primeros tres trimestres y 20 rublos y el monto de rescate en el cuarto trimestre. Así, la estructura de pagos es la siguiente: 20 + 20 + 20 + 1020. Los periodos entre pagos son iguales.

Ahora descontemos este flujo de pagos. Supongamos que la tasa de descuento es del 6,14% anual (por ejemplo, esta es la inflación esperada o la tasa libre de riesgo del 5,5% más una prima de riesgo del 0,64% para instrumentos con este riesgo, una cifra condicional para un ejemplo). Puede calcular la tasa trimestral ya que obtenemos aproximadamente un 1,5% por trimestre. Así, el valor presente de esta corriente de pagos a una tasa trimestral del 1,5% será igual a ${\ estilo de visualización 1{,} 0614 ^ {1/4} -1}$

${\frac {20}{1{,}015}}+{\frac {20}{1{,}015^{2}}}+{\frac {20}{1{,}015^ {3}}}+{\frac{1020}{1{,}015^{4}}}=19{,}704+19{,}413+19{,}126+960{,}995=1019 {,}24$

La misma puede calcularse directamente a través de la tasa anual, sin calcular la tasa trimestral, pero utilizando el tiempo como fracciones del año:

${\frac {20}{1{,}0614^{0{,}25}}}+{\frac {20}{1{,}0614^{0{,}5}}}+{ \frac {20}{1{,}0614^{0{,}75}}}+{\frac {1020}{1{,}0614}}=1019{,}24$

El valor presente de ciertos flujos de efectivo

El valor presente de una anualidad

Si el flujo de pagos es anualidad , es decir, los pagos tienen el mismo valor y se pagan a intervalos regulares, entonces esta fórmula toma la forma (basada en la conocida fórmula de la suma de una progresión geométrica):

PV\,=\,{\frac {CF}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\,= \,CF\cdot {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}

donde se hace el pago de una anualidad una vez; — tasa de descuento ; — valor descontado de los pagos de anualidades . ${\ estilo de visualización CF}$ $norte$ $i$ $fotovoltaica$ ${\ estilo de visualización CF}$

El valor descontado de las anualidades perpetuas ( perpetuidades )

Para una anualidad perpetua, es decir, con un valor infinitamente grande , la expresión entre corchetes en la fórmula del valor descontado de la anualidad se vuelve igual a uno, por lo que la fórmula se simplifica aún más: $norte$

PV\,=\,{\frac {CF}{i))

Valor descontado de los pagos con una tasa de crecimiento constante

Si los pagos crecen a una tasa de crecimiento constante g, su valor descontado se calcula mediante la fórmula:

PV\,=\,{CF_{1} \over ig}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]

donde es el pago realizado en el primer periodo, es el número de periodos, es la tasa de descuento . $CF_{1}$ $norte$ $i$

En el límite (para n infinitamente grande) en , se obtiene la siguiente fórmula simple ( modelos de Gordon ) : ${\ estilo de visualización g <i}$

{\displaystyle PV\,=\,{CF_{1} \over ig))

Conceptos relacionados

El valor actual neto (NPV) o el valor actual neto (presente, actual) (Valor actual neto, NPV) es el valor actual de los ingresos futuros de un proyecto de inversión menos el valor (descontado) de las inversiones en el proyecto. Caracteriza la eficacia del proyecto de inversión y es uno de los criterios para la selección de proyectos de inversión.

Véase también

Período de recuperación descontado

Notas

Literatura

Shiryaev A. N. Fundamentos de las matemáticas financieras estocásticas. - M. : FAZIS, 1998. - T. 1. Hechos. Modelos. — 512 págs. — ISBN 5-7036-0043-X .

diccionarios y enciclopedias	gran noruego Britannica (en línea)