Espacio discreto

Un espacio discreto en topología general y áreas relacionadas de las matemáticas es un espacio en el que todos los puntos están aislados entre sí en algún sentido.

Definiciones

Sea un conjunto , y sea la familia de todos sus subconjuntos . Entonces hay una topología en este conjunto, llamada topología discreta, y el par se llama espacio topológico discreto . $X$ $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$ $(X,{\mathcal {T))$
Sea un espacio métrico , donde la métrica se define de la siguiente manera: $(X,\rho)$ $\rho$

\rho (x,y)={\begin{casos}1,&x\neq y,\\0,&x=y,\end{casos}}\quad x,y\in X.

Entonces se llama métrica discreta , y todo el espacio se llama espacio métrico discreto . $\rho$

Nota

La topología inducida por una métrica discreta es discreta. Lo contrario es falso. Una métrica que no es discreta puede generar una topología discreta.

Ejemplos

Sea where , y sea una métrica discreta on . Entonces es una métrica discreta y, en consecuencia, un espacio topológico. $X=\{1,\ldots,n\},$ $n\en \mathbb {N}$ $\rho$ $X$ $(X,\rho)$
Deje que esta métrica no sea discreta, pero genera una topología discreta . $X=\left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ estilo de visualización \ rho (x, y) = | xy |.}$

Propiedades

Un espacio topológico es discreto si y solo si cada subconjunto de un punto está abierto .
Todos los subconjuntos de un punto de un espacio topológico discreto forman la base de una topología discreta.
Un espacio topológico discreto es compacto si y sólo si es finito .
El espacio métrico discreto está acotado .
Cualesquiera dos espacios topológicos discretos que tengan la misma cardinalidad son homeomorfos .
Cualquier función definida en un espacio topológico discreto es continua .
Un subconjunto discreto de un espacio euclidiano es como mucho contable . Lo contrario generalmente no es cierto.

Véase también

Topología trivial .