Topología trivial
La topología trivial en la topología general es la topología que consiste solo en el espacio completo y el conjunto vacío . Sin embargo, es más lógico llamar a esta topología antidiscreta, ya que tanto las topologías discretas como las antidiscretas son bastante triviales en el sentido general de la palabra.
Definición
Sea un conjunto arbitrario . La familia de subconjuntos donde denota el conjunto vacío es la topología . Esta topología se denomina topología trivial, antidiscreta o de puntos pegajosos . El par se denomina espacio topológico trivial (de lo contrario: antidiscreto) .
Nota
Si el conjunto contiene más de un punto, entonces todos ellos son topológicamente indistinguibles, ya que están contenidos en una sola vecindad .
Propiedades
- Los únicos conjuntos cerrados en un espacio topológico antidiscreto son y
- La topología antidiscreta tiene una base única :
- Un espacio topológico antidiscreto no satisface la mayoría de los axiomas de separación . En particular, no es Hausdorff , y por lo tanto no metrizable . Sin embargo, el espacio topológico antidiscreto satisface los axiomas T 3 , T 31 , T 4 debido a la ausencia en él de aquellos objetos para los cuales es necesario comprobar las condiciones de los axiomas. Es por ello que las definiciones de espacios topológicos regulares, completamente regulares y normales están sujetas al requisito de satisfacer un axioma más de separabilidad: el axioma T 1 .
- Un espacio topológico antidiscreto es compacto y paracompacto .
- Cualquier secuencia de puntos de converge a cualquier punto del mismo espacio. En particular, un espacio topológico antidiscreto es secuencialmente compacto .
- El interior de un subconjunto propio arbitrario está vacío.
- El cierre de un subconjunto arbitrario no vacío coincide con . En particular, cualquier subconjunto de un espacio topológico antidiscreto es denso en todas partes en
- Dos espacios topológicos antidiscretos son homeomorfos si y sólo si tienen la misma cardinalidad .
