Ecuaciones diferenciales de Lagrange y Clairaut

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Una ecuación diferencial es una relación que conecta una variable , la función buscada y sus derivadas , es decir, una relación de la forma: $X$ $y$

$\Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0$

Las ecuaciones diferenciales encuentran la aplicación más amplia en varios campos de la ciencia y la tecnología. Surgen en la resolución de problemas cuando se establece una relación entre una función de una variable y sus derivadas. $y$ $X$

Ecuación diferencial de Lagrange

Considere una ecuación diferencial de primer orden de la siguiente forma

$y=x\varphi (y')+\psi (y')$

donde y son funciones conocidas de , y suponemos que la función es diferente de . Este tipo de ecuación se llama ecuación de Lagrange. Es lineal con respecto a las variables y . $\varphi$ $\psi$ $tu$ ${\ estilo de visualización \ varphi (y')}$ $tu$ $X$ $y$

Tal ecuación diferencial tiene que resolverse, como dicen, introduciendo un parámetro auxiliar. Encontremos su solución general introduciendo el parámetro . Entonces la ecuación se puede escribir como: ${\ estilo de visualización y' = p}$

${\ estilo de visualización y = x \ varphi (p) + \ psi (p)}$ $\longleftrightarrow$ $(una)$

Notando que diferenciamos ambos lados de esta ecuación con respecto a : $p={dy\sobre dx}$ $X$

${\displaystyle p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Vamos a transformarlo en

${\displaystyle p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx))$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Incluso ahora, se pueden encontrar algunas soluciones a partir de esta ecuación, si observa que se convierte en una verdadera igualdad para cualquier valor constante de , que satisface la condición . De hecho, para cualquier valor constante de , la derivada se anula de forma idéntica, y entonces ambos lados de la ecuación se pueden igualar a cero. $p=p_{0}$ $p_{0}-\varphi (p_{0})=0$ $pags$ ${\ estilo de visualización {dp \ sobre dx}}$

La solución correspondiente a cada valor de , es decir , es una función lineal de , ya que la derivada de , es constante sólo para funciones lineales . Para encontrar esta función, basta con sustituir el valor en la igualdad , es decir $p=p_{0}$ ${dy \over dx}=p_{0}$ $X$ ${\ Displaystyle {dy \ over dx}}$ $(una)$ $p=p_{0}$

$y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})$ .

Si resulta que esta solución no se puede obtener de la general para ningún valor de una constante arbitraria, entonces será una solución especial .

Busquemos ahora una solución general. Para ello, escribimos la ecuación en la forma $(2)$

${\displaystyle {dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p)))$

y consideraremos , en función de . Entonces la ecuación resultante no es más que una ecuación diferencial lineal con respecto a la función de . Resolviéndolo, encontramos $X$ $pags$ $X$ $pags$

${\ estilo de visualización x = \ omega (p, C)}$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

Eliminar el parámetro de las ecuaciones y encontrar la integral general de la ecuación en la forma $pags$ $(una)$ $(3)$ $(una)$

${\ estilo de visualización \ Phi (x, y, C) = 0}$ .

Ecuación diferencial de Clairaut

Considere una ecuación diferencial de la siguiente forma

${\ estilo de visualización y = xy'+\ psi (y')}$ $\longleftrightarrow$ $(una)$

Tal ecuación se llama la ecuación de Clairaut.

Es fácil ver que la ecuación de Clairaut es un caso especial de la ecuación de Lagrange cuando . Se integra de la misma forma introduciendo un parámetro auxiliar. ${\ estilo de visualización \ varphi (y') = y'}$

deja _ Después $y'={dy \over dx}=p$

${\ estilo de visualización y = xp + \ psi (p)}$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Derivamos esta ecuación con respecto a , de la misma manera que hicimos con la ecuación de Lagrange, observando que , escribimos $X$ $p={dy\sobre dx}$

${\displaystyle p=x{dp \sobre dx}+p+\psi '(p){dp \sobre dx))$

Vamos a transformarlo en

$[x+\psi '(p)]{dp\over dx}=0$

Igualando cada factor a cero, obtenemos

${dp\sobre dx}=0$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

${\ estilo de visualización [x+\psi '(p)]=0}$ $\longleftrightarrow$ $(cuatro)$

Integrando la ecuación obtenemos . Sustituye el valor en la ecuación y encuentra su integral común $(3)$ $p=C=constante$ $pags$ $(2)$

${\ estilo de visualización y = xC + \ psi (C)}$ $\longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización (5)}$

Geométricamente, esta integral es una familia de líneas rectas . Si encontramos de la ecuación como función de , luego la sustituimos en la ecuación , entonces obtenemos la función $(cuatro)$ $pags$ $X$ $(2)$

$y=xp(x)+\psi[p(x)]$ $\longleftrightarrow$ ${\ estilo de visualización (6)}$

Que, como es fácil de demostrar, es la solución de la ecuación . De hecho, en virtud de la igualdad, encontramos $(una)$ $(cuatro)$

${\displaystyle {dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx))$

Pero desde entonces . Por tanto, sustituyendo la función en la ecuación , obtenemos la identidad $[x+\psi '(p)]{dp\over dx}=0$ ${dy\over dx}=p$ ${\ estilo de visualización (6)}$ $(una)$

${\ estilo de visualización xp+\psi (p)=xp+\psi (p)}$ .

La solución no se obtiene de la integral general para cualquier valor de una constante arbitraria . Esta solución es una solución especial, que se obtiene debido a la eliminación del parámetro de las ecuaciones ${\ estilo de visualización (6)}$ ${\ estilo de visualización (5)}$ $C$ $pags$

${\ estilo de visualización y = xp + \ psi (p)}$ y ${\ estilo de visualización x + \ psi '(p) = 0}$

o, lo que no importa, una excepción a las ecuaciones $C$

${\ estilo de visualización y = xC + \ psi (C)}$ y $x+\psi'(C)=0$

Por tanto, una solución especial de la ecuación de Clairaut determina la envolvente de la familia de rectas dada por la integral general . ${\ estilo de visualización (5)}$

Aplicaciones de la ecuación de Clairaut.

Los problemas geométricos se llevan a la ecuación de Clairaut, donde se requiere determinar la curva, según una propiedad dada de su tangente , y esta propiedad debe referirse a la tangente misma, y no al punto tangente. De hecho, la ecuación tangente tiene la forma

$Yy=y'(Xx)$

$Y=y'X+(y-xy')$

Cualquier propiedad de una tangente se expresa por la relación entre y : ${\ estilo de visualización (y-xy')}$ $tu$

${\ estilo de visualización \ Phi (y-xy', y') = 0}$

Resolviéndola con respecto a , llegamos a una ecuación de la forma ${\ estilo de visualización (y-xy')}$

${\ estilo de visualización y = xy'+\ psi (y')}$ , es decir, a nada más que la ecuación de Clairaut.

Literatura

VI Smirnov "Curso de Matemáticas Superiores", Volumen Dos, Editorial Nauka, Moscú 1974.

N. S. Piskunov "Cálculo diferencial e integral", volumen dos, editorial Nauka, Moscú 1985

K. N. Lungu, V. P. Norin et al.. "Colección de problemas en matemáticas superiores", segundo año, Moscú: Iris-press, 2007

Véase también