Circunferencia

La circunferencia de un círculo (del latín circumferens ) es la longitud de una curva plana cerrada que delimita un círculo. Debido a que un círculo es el límite de un círculo, o disco, la circunferencia de un círculo es un caso especial de perímetro [1] [2] . El perímetro es la longitud total del borde de la forma.

Círculo

La circunferencia de un círculo se puede definir como el límite de una secuencia de perímetros de polígonos regulares inscritos en un círculo [3] . El término circunferencia se usa cuando se miden objetos físicos, así como cuando se consideran formas geométricas abstractas.

Circunferencia y pi

La circunferencia de un círculo está relacionada con una de las constantes matemáticas más importantes, pi . El número pi se denota con la letra griega pi ( ). Los primeros dígitos de un número en notación decimal son 3.141592653589793 ... [4] Pi se define como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro : $\Pi$ $C$ $d$

{\ estilo de visualización \ pi = {\ frac {C} {d}}}

O, de manera equivalente, como la relación entre la circunferencia de un círculo y sus dos radios . La fórmula anterior se convierte en:

{C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!

El uso de la constante es omnipresente en la ciencia y las aplicaciones. $\Pi$

En el libro " Midiendo el círculo ", escrito alrededor del 250 a.C., Arquímedes demostró que esta razón ( , ya que no usó la notación ) es mayor que 3 ${\ estilo de visualización C/d}$ $\Pi$ diez71, pero menos de 3una7, calculando los perímetros de un polígono inscrito y circunscrito de 96 lados [5] . Este método de aproximación de un número se ha utilizado durante siglos, ya que tiene una mayor precisión que las fórmulas de polígonos con una gran cantidad de lados. El último cálculo de este tipo fue realizado en 1630 por Christoph Greenberger , usando polígonos con 10 40 lados. $\Pi$

Elipse

No existe una fórmula general para calcular la longitud del límite de una elipse en términos de los semiejes mayor y menor de la elipse, que usaría solo funciones elementales. Sin embargo, existen fórmulas aproximadas en las que aparecen estos parámetros. Una de las aproximaciones la obtuvo Euler (1773); el perímetro de una elipse escrito por la ecuación canónica:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

aproximadamente igual a

C_{\rm {elipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})))

Límites inferior y superior del perímetro de la elipse canónica en [6] . ${\ estilo de visualización a \ geq b}$

2\pi b\leqslant C\leqslant 2\pi a,

{\ estilo de visualización \ pi (a + b) \ leqslant C \ leqslant 4 (a + b),}

4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leqslant C\leqslant \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2}))).

Aquí, el límite superior es la longitud del círculo concéntrico circunscrito que pasa por los extremos de los ejes mayores de la elipse, y el límite inferior es el perímetro del rombo inscrito , cuyos vértices son los extremos de los ejes mayor y menor. ${\ estilo de visualización 2 \ pi a}$ ${\ estilo de visualización 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

El perímetro de una elipse se puede describir usando la integral elíptica completa de segundo tipo [7] . Con más precisión:

C_{\rm {elipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\ theta,

donde es la longitud del semieje mayor y es la excentricidad $a$ $mi$ ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

Véase también

Notas

↑ Bennett, Jeffrey & Briggs, William (2005), Uso y comprensión de las matemáticas/un enfoque de razonamiento cuantitativo (3.ª ed.), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
↑ Universidad Estatal de San Diego. Perímetro, Área y Circunferencia (enlace no disponible) . Addison-Wesley (2004). Consultado el 6 de marzo de 2020. Archivado desde el original el 6 de octubre de 2014. (indefinido)
↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (inglés) , WH Freeman and Co., p. 565, ISBN 0-7167-0456-0
↑ Sloane, N. J. A. Sequence A000796 , Enciclopedia en línea de secuencias enteras OEIS , Fundación OEIS.
↑ Katz, Victor J. (1998), Historia de las matemáticas/Introducción (2.ª ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109 , ISBN 978-0-321-01618-8 , < https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 >
↑ Jameson, GJO Desigualdades para el perímetro de una elipse // Mathematical Gazette : diario. - 2014. - Vol. 98 , núm. 499 . - pág. 227-234 . -doi : 10.2307/ 3621497 . — .
↑ Almkvist, Gert & Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, the aritmetic-geometric mean, ellipses, pi, and the Ladies Diary (inglés) , American Mathematical Monthly vol.95 (7): 585–608, doi : 10.2307/2323302 , < https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52 >

Literatura

Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. et al. Capítulos adicionales para el libro de texto de octavo grado // Geometría. — 3ra edición. — M. : Vita-Press, 2003.
Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. — M .: Nauka, 1978.
- Reedición: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 páginas.

Enlaces

Numericana - Circunferencia de una elipse