Problema isoperimétrico

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La desigualdad isoperimétrica es una desigualdad geométrica que relaciona el perímetro de una curva cerrada sobre un plano y el área de una sección del plano delimitada por esta curva. El término también se usa para varias generalizaciones de esta desigualdad.

Isoperimétrico significa literalmente "que tiene el mismo perímetro ". En particular, la desigualdad isoperimétrica establece que, dada la longitud L de una curva cerrada y el área A de la región plana delimitada por esta curva,

4\pi A\leqslant L^{2},

y esta desigualdad se convierte en igualdad si y sólo si la curva es un círculo.

El propósito del problema isoperimétrico es encontrar la figura del área más grande posible, cuyo límite tiene una longitud dada [1] .

El problema isoperimétrico se ha generalizado de muchas maneras a otras desigualdades entre características de figuras, conjuntos y variedades. El problema isoperimétrico también incluye estimaciones de cantidades de origen físico (momentos de inercia, rigidez torsional de una viga elástica, frecuencia fundamental de la membrana, capacitancia electrostática, etc.) a través de características geométricas. Por ejemplo, existen generalizaciones para curvas en superficies y para dominios en espacios de dimensiones superiores.

Quizás la manifestación física más conocida de la desigualdad isoperimétrica 3D es la forma de una gota de agua. Es decir, la gota adopta una forma generalmente redonda. Dado que la cantidad de agua en una gota es fija, la tensión superficial hace que la gota adopte una forma que minimiza la superficie de la gota, siendo la superficie mínima una esfera.

Historia

En el problema de Dido , que tiene un contenido cercano , se requiere encontrar una región de área máxima limitada por una línea recta y un arco curvilíneo, cuyos extremos se encuentran en esta línea recta. La tarea está relacionada con la antigua leyenda sobre la fundación de Cartago por Dido , la hermana del rey de la ciudad fenicia de Tiro.

La solución del problema isoperimétrico es un círculo , y esto ya se conocía en la Antigua Grecia . En su tratado “Sobre figuras isoperimétricas” ( griego antiguo Περὶ ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ) Zenodoro ( siglo II a. C. ) resuelve el problema isoperimétrico en el plano y obtiene resultados parciales en el espacio. La primera prueba matemáticamente rigurosa de la desigualdad isoperimétrica en el espacio fue obtenida en 1884 por Hermann Schwartz . Desde entonces, ha surgido mucha más evidencia.

Problema isoperimétrico en el plano

El problema isoperimétrico clásico se remonta a la antigüedad. El problema se puede formular de la siguiente manera: entre todas las curvas cerradas en un plano con un perímetro dado, ¿cuál curva (si la hay) maximiza el área de la región delimitada por ella? Se puede demostrar que esta pregunta es equivalente al siguiente problema: de todas las curvas cerradas en el plano que limitan una región de un área dada, ¿cuál (si alguna) minimiza el perímetro?

El problema está relacionado conceptualmente con el principio de mínima acción en física y puede reformularse de acuerdo con este principio: ¿qué acciones incluyen un área grande con la máxima economía de apoyo? El filósofo y científico del siglo XV, el cardenal Nicolás de Cusa , discutió la rotación , el proceso en el que se generan los círculos , como el reflejo más directo de los procesos en los que se creó el universo. El astrónomo y astrólogo alemán Johannes Kepler utilizó el principio isoperimétrico al discutir la estructura del sistema solar en El secreto del universo (1596).

Aunque el círculo es una solución obvia al problema, probar este hecho no es una tarea fácil. El primer progreso en el camino de la prueba lo hizo el geómetra suizo Jakob Steiner en 1838 utilizando un método geométrico que más tarde se denominó simetrización de Steiner [2] . Steiner demostró que si existe una solución, debe ser un círculo. La prueba de Steiner fue completada más tarde por otros matemáticos.

Steiner comienza con algunas construcciones geométricas que son fáciles de entender. Por ejemplo, se puede demostrar que cualquier curva cerrada que encierre una región que no sea completamente convexa se puede modificar para que tenga un área mayor "reflejando" las partes cóncavas para que se vuelvan convexas. Entonces se puede demostrar que cualquier curva cerrada que no sea perfectamente simétrica se puede "inclinar" de tal manera que encierre un área más grande. La única figura que es completamente convexa y simétrica es el círculo, aunque este razonamiento no presenta una demostración rigurosa (ver referencias externas).

Desigualdad isoperimétrica

La solución de un problema isoperimétrico suele expresarse como una desigualdad que relaciona la longitud L de una curva cerrada y el área A del plano delimitado por esta curva. La desigualdad isoperimétrica establece que

4\pi A\leqslant L^{2},

y que esta desigualdad se convierte en igualdad si y sólo si la curva es un círculo. De hecho, el área de un círculo de radio R es π R 2 , y la circunferencia es 2π R , por lo que ambos lados de la desigualdad se convierten en 4π 2 R 2 .

Uno puede encontrar docenas de pruebas de la desigualdad isoperimétrica. En 1902 Hurwitz publicó una breve prueba utilizando la serie de Fourier , que es aplicable a curvas rectificables arbitrarias (no necesariamente suaves). E. Schmidt dio en 1938 una prueba directa elegante basada en una comparación de una curva cerrada simple suave con un círculo adecuado . . La prueba usa solo la fórmula de la longitud de la curva , la fórmula del área plana del teorema de Green y la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky .

Para una curva cerrada dada , el coeficiente isoperimétrico se define como la relación entre el área de una figura y el área de un círculo que tiene el mismo perímetro. Eso es

Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}},

y la desigualdad isoperimétrica dice que Q ⩽ 1.

El coeficiente isoperimétrico de un n - gon regular es

Q_{n}={\frac {\pi }{n\operatorname {tg} {\frac {\pi {n}))).

Desigualdad isoperimétrica en la esfera

Sea C una curva cerrada simple sobre una esfera de radio 1. Denotemos por L la longitud de la curva C y por A el área de la región delimitada por la curva C. La desigualdad isoperimétrica esférica establece que

L^{2}\geqslant A(4\pi -A),

y esta desigualdad se convierte en igualdad si y sólo si la curva es un círculo. En realidad, hay dos formas de medir el área de una región esférica, pero la desigualdad es simétrica para la elección del complemento.

Esta desigualdad fue descubierta por Paul Levy (1919), quien la generalizó a dimensiones superiores y superficies más generales. .

Para el caso de un radio R arbitrario , se sabe [3] que

L^{2}\geqslant 4\pi AA^{2}/R^{2}.

Desigualdad isoperimétrica en espacios de mayores dimensiones

El teorema isoperimétrico se generaliza a superficies en el espacio euclidiano tridimensional . Entre todas las superficies cerradas simples con un área de superficie dada, la esfera contiene la región de máximo volumen . Afirmaciones similares son válidas en espacios euclidianos de cualquier dimensión.

En forma general [4] , la desigualdad isoperimétrica establece que para cualquier conjunto S ⊂ R n cuya clausura tiene medida de Lebesgue finita ,

n\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S)))^{(n-1)/n}\leqslant M_{*}^{n- 1}(\parcialS),

donde M * n −1 es la ( n − 1) capacidad de Minkowski dimensional , L n es la medida de Lebesgue n - dimensional y ω n es el volumen de la bola unitaria en R n . Si el límite S es rectificable , entonces la capacidad de Minkowski es igual a la medida de Hausdorff ( n − 1)-dimensional .

Una desigualdad isoperimétrica en dimensión n se puede probar rápidamente utilizando la desigualdad de Brunn-Minkowski [3] [4] .

La desigualdad isoperimétrica en el espacio n -dimensional es equivalente (para dominios suficientemente suaves) a la desigualdad de Sobolev en R n con una constante óptima:

\left(\int_{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n }}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|

para todo u ∈ W 1,1 ( R n ).

Desigualdad isoperimétrica en espacios de medida

La mayor parte del trabajo sobre el problema isoperimétrico se realiza en el contexto de dominios suaves en espacios euclidianos , o para variedades de Riemann más generales . Sin embargo, el problema isoperimétrico se puede generalizar esencialmente utilizando el concepto de capacidad de Minkowski . Sea un espacio métrico con medida : X es un espacio métrico con métrica d y μ como la medida de Borel en X . La medida de frontera , o capacidad de Minkowski , de un subconjunto medible A de X se define como lim inf : ${\ estilo de visualización (X, \, \ mu, \, d)}$

\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon )),

dónde

{\displaystyle A_{\varepsilon}=\{x\in X\mid d(x,A)\leqslant \varepsilon \))

es una extensión ε del conjunto A .

El problema isoperimétrico en X pregunta qué tan pequeño puede ser para una cantidad dada μ( A ). Si X es un plano euclidiano con la distancia habitual y la medida de Lebesgue , entonces esta pregunta generaliza el problema isoperimétrico clásico a regiones del plano cuyos límites no son necesariamente suaves, aunque la respuesta es la misma. ${\ estilo de visualización \ mu ^{+} (A)}$

Función

{\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)\mid \mu (A)=a\))

se denomina perfil isoperimétrico de un espacio métrico medible . Se han estudiado perfiles isoperimétricos para gráficos de Cayley de grupos discretos y clases especiales de variedades de Riemann (donde generalmente se consideran dominios A con límites ordinarios). ${\ estilo de visualización (X, \, \ mu, \, d)}$

Desigualdad isoperimétrica para grafos

En la teoría de grafos, las desigualdades isoperimétricas están en el centro del estudio de los expansores , gráficos dispersos que tienen una fuerte conectividad. La construcción de expansores ha dado lugar a investigaciones en matemáticas puras y aplicadas con aplicaciones en la teoría de la complejidad computacional , el diseño de redes informáticas robustas y la teoría de códigos correctivos [5] .

Las desigualdades isoperimétricas para grafos relacionan el tamaño de los subconjuntos de vértices con el tamaño de los límites de estos subconjuntos, que generalmente se entiende como el número de aristas que salen del subconjunto o el número de vértices vecinos. Para un gráfico y un número, hay dos parámetros isoperimétricos de gráfico estándar [6] . $GRAMO$ $k$

Parámetro isoperimétrico de borde:

\Phi_{E}(G,k)=\min_{S\subseteq V}{\big \{}|E(S,{\overline {S)))|:|S|=k {\grande \))).

Parámetro isoperimétrico de vértice:

\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k{\big \ }}.

Aquí denota el conjunto de aristas que salen y denota el conjunto de vértices que tienen vecinos en . El problema isoperimétrico es entender cómo se comportan los parámetros y en familias de grafos. $E(S,{\overline {S)))$ $S$ ${\ estilo de visualización \ gamma (S)}$ $S$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {E}}$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {V}}$

Ejemplo: Desigualdad isoperimétrica para hipercubos

$d$ El hipercubo bidimensional es un gráfico cuyos vértices son vectores booleanos de longitud , es decir, un conjunto de . Dos de estos vectores están conectados por una arista si difieren en una sola posición, es decir , la distancia de Hamming entre ellos es exactamente uno. ${\ Displaystyle Q_ {d}}$ $d$ ${\ estilo de visualización \ {0,1 \}^ {d}}$ ${\ Displaystyle Q_ {d}}$

A continuación se muestran dos desigualdades isoperimétricas para el hipercubo booleano [7] .

Desigualdad isoperimétrica para aristas

La desigualdad isoperimétrica para los bordes de un hipercubo dice: . $\Phi_{E}(Q_{d},k)\geqslant k(d-\log_{2}k)$

Desigualdad isoperimétrica para vértices

El teorema de Harper [8] establece que las bolas de Hamming tienen el límite de vértice más pequeño entre todos los conjuntos de un tamaño dado. Las bolas de Hamming son conjuntos que contienen todos los puntos con un peso de Hamming que no excede de algún número entero . Del teorema se sigue que cualquier conjunto con satisface [9] $r$ $r$ $S\subconjunto V$ $|S|\geqslant \sum _{i=0}^{r}{\binom {n}{i))$ $|S\cup \Gamma (S)|\geqslant \sum _{i=0}^{r+1}{\binom {n}{i)).$

En el caso especial en que el tamaño del conjunto tiene la forma de algún número entero , se deduce de lo anterior que el parámetro isoperimétrico del vértice exacto es [5] . $k=|S|$ $k={\binom {d}{0}}+{\binom {d}{1}}+\puntos +{\binom {d}{r}}$ $r$ $\Phi _{V}(Q_{d},k)={\binom {d}{r+1}}$

Desigualdad isoperimétrica para triángulos

La desigualdad isoperimétrica para triángulos en términos de perímetro p y área T establece que [10]

p^{2}\geqslant 12{\sqrt {3}}\cdot T,

con igualdad en el caso de un triángulo regular .

Notas

↑ Blåsjö, 2005 , pág. 526-566.
↑ Steiner, 1838 , pág. 281-296.
↑ 12 Osserman , 1978 .
↑ 1 2Federer , 1987 .
↑ 1 2 Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Definiciones 4.2 y 4.3 en Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Ver Bollobás, 1986 y sección 4 en Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Ver Calabro, 2004 o Bollobás, 1986 .
↑ Líder, 1991 .
↑ Chakerian, 1979 .

Literatura

Viktor Blasjo. La evolución del problema isoperimétrico (inglés) // Amer. Matemáticas. Mensual. - 2005. - vol. 112 .
Blaschke , Leichtweiss. Elementare Differentialgeometrie (alemán) . - 5º, completamente revisado por K. Leichtweiß. - Nueva York Heidelberg Berlín: Springer-Verlag , 1973. - Bd. 1.- (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-05889-3 .
Blaschke . Círculo y bola . - M. : Ciencia. — 1967.
Bella Bollobas. Combinatoria: sistemas de conjuntos, hipergrafías, familias de vectores y probabilidad combinatoria . - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1986. - ISBN 978-0-521-33703-8 .
Burago. Enciclopedia de Matemáticas / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Chris Calabro. Teorema de Harper . — 2004.
Luca Capogna, Donatella Danielli, Scott Pauls, Jeremy Tyson. Una Introducción al Grupo de Heisenberg y el Problema Isoperimétrico Sub-Riemanniano . - Birkhäuser Verlag , 2007. - ISBN 3-7643-8132-9 .
GD Chakerian. Ciruelas matemáticas (inglés) / R. Honsberger. — Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979.
T. Bonnesen, W. Fenchel. Teoría de los cuerpos convexos. - 2002. - (Biblioteca del estudiante de Matemáticas).
Protasov V. Yu. Máximos y mínimos en geometría . — M. : MTsNMO. — 56 págs. - (Biblioteca "Educación Matemática", número 31).
G.Federer. Teoría de la medida geométrica. — M .: Nauka, 1987.
M. Gromov . Desigualdad isoperimétrica de Paul Levy . - Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., 1999. - Vol. 152.- (Progreso en Matemáticas).
J. Steiner. Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze (alemán) . - J. reine angew Math.. - 1838. También obras completas, volumen 2, Reimer, Berlín, (1882).
G. Hadwiger. Conferencias sobre volumen, área superficial e isoperimetría. — M .: Nauka, 1966.
Shlomo Hoory, Nathan Linial, Avi Widgerson. Gráficos de expansión y sus aplicaciones // Boletín (nueva serie) de la American Mathematical Society . - 2006. - vol. 43 , edición. 4 . -doi : 10.1090/ S0273-0979-06-01126-8 .
Soy líder. Actas de Simposios de Matemática Aplicada . - 1991. - vol. 44. - Pág. 57-80.
Roberto Osserman. La desigualdad isoperimétrica // Bull . amer Matemáticas. Soc.. - 1978. - Vol. 84 , edición. 6 _ - P. 1182-1238 . -doi : 10.1090 / S0002-9904-1978-14553-4 .