Invariante (matemáticas)

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Un invariante es una propiedad de cierta clase ( conjunto ) de objetos matemáticos que permanece sin cambios bajo cierto tipo de transformación.

Definición

Sea un conjunto y sea un conjunto de aplicaciones de a . Un mapeo de un conjunto a otro conjunto se llama invariante si la identidad se cumple para cualquier y . $A$ $GRAMO$ $A$ $B$ $F$ $A$ $B$ $GRAMO$ $a \ en A$ $g\in g$ $f(a)=f(g(a))$

El concepto de invariante es uno de los más importantes en matemáticas , ya que el estudio de un invariante está directamente relacionado con los problemas de clasificación de objetos de un tipo u otro. En esencia, el objetivo de cualquier clasificación matemática es construir un sistema completo de invariantes (si es posible, el más simple), es decir, un sistema que separe dos objetos no equivalentes cualesquiera del conjunto considerado [1] .

Los invariantes se utilizan en diversas áreas de las matemáticas, como la geometría , la topología y el álgebra . El descubrimiento de invariantes es un paso importante en el proceso de clasificación de objetos matemáticos.

Ejemplos

El área de un triángulo es invariante bajo isometrías del espacio euclidiano .
La cardinalidad de un conjunto es invariante bajo biyecciones .
El determinante , la traza , los vectores propios y los valores propios de la matriz son invariantes bajo la elección de la base.
En la teoría de ecuaciones diferenciales, un invariante es una función que depende de la función deseada, cuyo valor es constante ( la primera integral ).
La medida de Lebesgue es invariante bajo turnos.
Los valores singulares de la matriz son invariantes bajo transformaciones ortogonales .
La teoría de las invariantes se ocupa de la búsqueda de polinomios invariantes (o simplemente "invariantes" ) y del estudio del álgebra formada por ellos para el caso de representaciones lineales de grupos algebraicos, así como de las acciones de los grupos algebraicos sobre variedades algebraicas.
Invariante topológico : consulte el Glosario de términos generales de topología .
Los problemas invariantes representan una gran clase de problemas en las matemáticas de las Olimpiadas .
El número de Hadwiger y el número cromático son gráficos invariantes bajo la renumeración de sus vértices.
El invariante de una curva elíptica es el número . Ver GOST 34.10-2018 . $J(E)=1728{\frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}{\pmod {p}}$

Notas

↑ V. L. Popov . Invariante // Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1979. - T. 2 . - S. 526 .

Literatura

Dieudonné J. , Carroll J., Mumford D. Teoría invariante geométrica. — M .: Mir, 1974. — 278 p.